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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 1f

Calcule as integrais abaixo.

f )   ∫ s e n ² ( θ ) d θ

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida ∫ s e n ² ( θ ) d θ .

Porém, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

∫ s e n ² ( θ ) d θ   =   g ( θ )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( θ ) que é nossa função primitiva. Como acham que eu devo começar???

Passo 2

Vamos começar primeiro reescrevendo a nossa expressão usando uma identidade trigonométrica

∫ s e n ² ( θ ) d θ   =   ∫ 1 -   c o s ( 2 θ ) 2 d θ = 1 2 ∫ ( 1 -   c o s ( 2 θ ) ) d θ

Aplicando a regra da integral da soma:

1 2 ( ∫ 1 d θ - ∫ c o s ( 2 θ ) d θ )

Passo 3

Agora basta que consigamos resolver cada uma das integrais.

∫ 1 d θ =   θ

Para solucionar essa segunda integral iremos utilizar a regra da substituição que consiste basicamente em modificar as variáveis com a finalidade de facilitar nossos cálculos. Dessa forma chamaremos u   =   2 θ . Então, calculamos a derivada

∫ c o s ( 2 θ ) d θ   =   ∫ c o s ( u ) d u 2   =   1 2 ∫ c o s ( u ) d u   =   1 2 s e n ( u )

Substituindo na equação acima u   =   2 θ :

∫ c o s ( 2 θ ) d θ   =   1 2 s e n ( u ) =   1 2 s e n ( 2 θ )

Passo 4

Uma vez encontrado essas integrais podemos finalizar nossa questão aplicando esses resultados obtidos na expressão do passo 2.

∫ s e n ² ( θ ) d θ   = 1 2 ( ∫ 1 d θ - ∫ c o s ( 2 θ ) d θ ) = 1 2 ( θ -   1 2 s e n ( 2 θ ) )  

Portanto conclui-se que a nossa resposta final será

∫ s e n ² ( θ ) d θ   = 1 2 ( θ -   1 2 s e n ( 2 θ ) )   +   K , onde .

Bons Estudos, xuxus!

Resposta

∫ s e n ² ( θ ) d θ   = 1 2 ( θ -   1 2 s e n ( 2 θ ) )   +   K , onde .

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