Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Enunciado

Ok, integrais com raízes podem enrolar um pouco a cabeça eu sei. Mas calma gafanhoto, vamos tirar de letra. Dá uma olhada nessa manipulação aqui:

Opa, trigonometria? É meu caro! Vamos tentar uma substituição trigonométrica aqui. Multiplicando por dos dois lados:

Se fizermos a substituição:

Vamos poder reescrever a integral para:

Tá, mas e aquele ali? Bem, a gente se livre dele derivando em relação à já que a substituição faz ser uma função de . Derivando então:

Substituindo então:

Vamos então resolver a última integral que ficou:

E olha só, não dá pra resolver isso sem relações trigonométricas em! Se:

Então:

Pra primeira integral das duas que acabamos gerando acima, temos:

Revertendo para , como:

Vamos ter que:

E logo:

E pra fechar, vamos ver a segunda integral, beleza? Ela vai ser:

Fazendo aí uma substituição simples:

Ficamos com:

Voltando pra variável , temos:

Agora vamos com calma, pra voltarmos pra variável . Primeiro, vamos lembrar que:

Então já vamos ter que:

Mas , se lembrarmos lá do início, vamos ver que:

Sendo assim:

E logo:

Questão fechada! A integral vai ficar a soma de e :