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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as integrais:

d   ∫ 0 π sen 5 ⁡ x d x

Passo 1

Temos da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo:

∫ 0 π sen 5 ⁡ x d x = ∫ 0 π sen 4 ⁡ x sen ⁡ x d x

= ∫ 0 π sen 2 ⁡ x 2 sen ⁡ x d x = ∫ 0 π 1 - cos 2 ⁡ x 2 sen ⁡ x d x

= ∫ 0 π 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x sen ⁡ x d x

Passo 2

Substituindo o cosseno:

u = cos ⁡ x       d u = - sen ⁡ x d x

u 0 = cos ⁡ 0 = 1       ;       u π = cos ⁡ π = - 1

∫ 0 π 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 - 1 1 - 2 u 2 + u 4 - d u

= ∫ - 1 1 1 - 2 u 2 + u 4 d u

Passo 3

Resolvendo, ∫ - 1 1 1 - 2 u 2 + u 4 d u = u - 2 u 3 3 + u 5 5 [ 1 - 1

= 1 - 2 3 + 1 5 - - 1 - - 2 3 + - 1 5

= 16 15

Resposta

∫ 0 π sen 5 ⁡ x d x = 16 15

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