UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 11 – Alternativa d)
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
Passo 1
Vamos que vamos para mais uma alternativa!!
Eu sei que substituição trigonométrica parece o demônio! Mas vamos tentar fazer devagarzinho e ver se surge uma luz! Utilizar este método é uma questão de identificar casos específicos! Para identificar qual é o nosso caso, vamos primeiro reescrever um pouco nossa integral! Temos:
Então podemos identificar o seguinte caso:
Em que . Para esta situação é conveniente usar a substituição:
Vamos trabalhar um pouco em cima disso! Bora lá!
Passo 2
Utilizando a substituição em nossa integral, temos que:
Eu mudei os limites de integração para valores qualquer só por formalidade, vamos voltar para os originais depois, belezinha? Parece que piorou neh? Mas na verdade está melhor! Vem comigo!
Passo 3
Vamos lembrar que:
Ou seja,
Agora conseguimos resolver isso fazendo uma substituição simples de variável! Saca só!
Passo 4
Fazendo a substituição e , temos:
Identificando a primitiva, temos então:
Voltando para a variável , temos:
Só precisamos fazer uma última coisinha! E é voltar para a variável original! Vamos analisar o triângulo retângulo para isso! Saca só!
Passo 5
Temos que:
E, utilizando Pitágoras para obter o cateto adjacente, temos:
E nosso triângulo retângulo tem a forma:
Beleza, vamos usar esse triângulo para encontrar a nossa resposta! Saca só!
Passo 6
Desta forma, temos que:
Maravilha! Temos então que:
Que resulta em:
Maravilha! Nossa resposta é então:
Aí está a nossa alternativa! Te vejo daqui a pouco na próxima hehehe! Até logo!
