Calcule a seguinte integral
Passo 1
Cara, segura na minha mão. Tem um produto de funções ali. Vamos usar integração por partes. Maaas, é uma função difícil de derivar e difícil de integrar. Aí a gente vai rescrever ela.
Como? Cara, lembra daquela identidade:
Vamos dividir tudo por :
Aí a gente substitui isso na integral:
Agora sim a gente vai usar integração por partes nessa integral que sobrou para resolver. Vem!
Passo 2
Pensa comigo: secante ao quadrado é difícil de derivar, mas é tranquila de integrar, repara:
Ele é a derivada de tangente! Como ele é uma função mais tranquila de integrar, e é uma função tranquila de derivar, a gente vai chamar elas assim:
É sempre bom usar como a função que é fácil de derivar, e como a função que é fácil de integrar.
Passo 3
Aí jogamos isso na fórmulinha da integração por partes
Aí falta calcular essa integral que apareceu. Como
A gente pode calcular ela fazendo a substituição simples . Aí fazendo isso, a gente acha que:
Passo 4
Substituindo o que a gente achou nas nossas continhas:
Mas a gente precisa voltar lá na primeira integral (não esquece dela não!)
Aí a gente precisa colocar a constante de integração, já que nossa integral é indefinida.