4. Calcule as seguintes integrais:

c) ∫ x c o s 5 x d x

d) ∫ 0 ∞ x e - 3 x d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter as integrais de x c o x 5 x e x e - 3 x , esse último entre 0 e .

Sabe como fazemos isso? 👀

Em ambas as integrações temos que aplicar o método de substituição e o método de integração por partes.

O método de substituição consiste em substituir a variável de integração por outra de modo a facilitar nossos cálculos.

Já o método de integração por partes é dado a partir da fórmula.

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Entendeu? Bora começar! 😎

Passo 2

Para a integral de x c o x 5 x fazemos a substituição de 5 x para u , dessa forma

5 x = u d u d x = 5 → x = u 5 d x = d u 5

Fazendo essas substituições na integral, temos

∫ x c o s 5 x d x → ∫ u 5 c o s u d u 5

∫ u c o s u 25 d u

Tirando a constante para fora

1 25 ∫ u c o s u d u

Aqui aplicamos e método de integração por partes fazendo u = u e d v = cos ⁡ u d u

Substituindo na fórmula, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ u c o s u d u = u · s e n u - ∫ s e n u d u

∫ u c o s u d u = u · s e n u - - cos ⁡ u

∫ u c o s u d u = u · s e n u + cos ⁡ u

Substituindo esse resultado em ∫ x c o s 5 x d x substituindo u por 5 x de volta

∫ x c o s 5 x d x = 1 25 5 x s e n 5 x + cos ⁡ 5 x + C

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos para a integral de x e - 3 x .

Aplicando o método de substituição, vamos chamar - 3 x de u ...

u = - 3 x d u d x = - 3 → x = - u 3 d x = - d u 3

Substituindo na integral

∫ x e - 3 x d x → ∫ - u 3 e u - d u 3

∫ u e u 9 d u

Colocando a constante para fora

1 9 ∫ u e u d u

Agora aplicando a fórmula do método de integração por partes, temos u = u e d v = e u d u

∫ u e u d u = u · e u - ∫ e u d u

∫ u e u d u = u · e u - e u

∫ u e u d u = u - 1 e u

Substituindo esse resultado em ∫ x e - 3 x d x passando u para - 3 x de volta

∫ x e - 3 x d x = 1 9 - 3 x - 1 e - 3 x + C

∫ x e - 3 x d x = e - 3 x 9 - 3 x - 1 + C

Passo 4

Ainda não acabou, queremos obter o resultado dessa integral entre 0 e , ou seja

∫ 0 ∞ x e - 3 x d x = e - 3 ∞ 9 - 3 ∞ - 1 - e - 3 0 9 - 3 0 - 1

∫ 0 ∞ x e - 3 x d x = 0 9 ∞ - 1 - 1 9 - 1

∫ 0 ∞ x e - 3 x d x = 1 9

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

c) ∫ x c o s 5 x d x = 1 25 5 x s e n 5 x + cos ⁡ 5 x + C

d) ∫ 0 ∞ x e - 3 x d x = 1 9

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