Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n 3 x c o s 2 x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Aqui como estamos trabalhando com funções trigonométricas, algo que precisamos ficar atento é a respeito do expoente que as nossas funções estão elevadas. Dependendo do grau, isso vai determinar qual identidade trigonométrica vamos usar.

∫ s e n 3 x c o s 2 x d x

Reparem que temos um produto de função seno e cosseno com pelo menos uma das potências ímpar. Isso significa que vamos usar a identidade trigonométrica:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n 3 x c o s 2 x d x

Reparem que podemos fazer o seguinte ajuste:

∫ s e n x s e n 2 x c o s 2 x d x

Sabendo que

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Então:

∫ s e n x 1 - c o s 2 x c o s 2 x d x

Agora, vamos usar a substituição simples:

u = cos ⁡ x → d u = - s e n ( x ) d x

Substituindo:

∫ s e n x 1 - c o s 2 x c o s 2 x d x = ∫ - 1 - u 2 u ² d u

∫ - 1 - u 2 u ² d u = - ∫ u 2 - u 4 d u

Com isso, chegamos a uma integral de potências. Resolvendo:

- ∫ u 2 - u 4 d u = - u 3 3 - u 5 5

Show, mas lembre-se que temos que voltar para a função trigonométrica, então:

u = cos ⁡ x

- u 3 3 - u 4 4 → - cos 3 ⁡ x 3 + cos ⁡ x 5 5 + C

Resposta

- cos 3 ⁡ x 3 + cos ⁡ x 5 5 + C

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