Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n ² x c o s ² x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Aqui como estamos trabalhando com funções trigonométricas, algo que precisamos ficar atento é a respeito do expoente que as nossas funções estão elevadas. Dependendo do grau, isso vai determinar qual identidade trigonométrica vamos usar.

∫ s e n ² x c o s ² x d x

Reparem que temos um produto de função seno e cosseno com ambas tendo as potências pares. Isso significa que vamos usar as identidades trigonométricas:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n ² x c o s ² x d x

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Reparem que podemos fazer o seguinte ajuste:

∫ s e n ² x c o s ² x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 - cos ² ⁡ 2 x 4 d x

∫ 1 - cos ² ⁡ 2 x 4 d x = 1 4 ∫ 1 - cos ² ⁡ 2 x d x

Show, a gente já conseguiu “se livrar” de uma função ao quadrado, mas apareceu outra um pouco mais complicada né? Mas calma, a gente vai se livrar dela do mesmo jeito:

c o s 2 2 x = 1 + cos ⁡ 4 x 2

Substituindo:

1 4 ∫ 1 - cos ² ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ 1 - 1 + cos ⁡ 4 x 2 d x

1 4 ∫ 1 - 1 + cos ⁡ 4 x 2 d x = 1 4 ∫ 1 - 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x

Shoow, conseguimos nos livrar de todas as funções ao quadrado, agora só resolver

1 4 ∫ 1 - 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x = 1 4 x - x 2 - s e n 4 x 8

1 4 x - x 2 - s e n 4 x 8 = 1 8 x - s e n 4 x 4 + C

Resposta

1 8 x - s e n 4 x 4 + C

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