Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar analisando a integral que estamos trabalhando:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

Reparem que temos um produto de seno e cosseno com constantes dentro da função. Para isso, vamos usar uma regrinha estabelecida:

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x

s e n n x cos ⁡ m x = 1 2 s e n ( n + m ) x + s e n ( n - m ) x

Com isso, nossa integral vai ficar:

∫ s e n ( 3 x ) c o s 4 x d x = ∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x

∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x + ∫ s e n - x d x

Lembrando que s e n - x = - s e n ( x ) . Então:

∫ 1 2 s e n 7 x + s e n - x d x = 1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x

Reparem que com essa ferramenta a gente saiu de um produto para uma soma de funções, tornando assim nosso trabalho bem mais simples.

Passo 3

Show, com isso, vamos calcular.

1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x

Calculando a primeira integral:

∫ s e n 7 x d x = - c o s 7 x 7

Calculando a segunda:

∫ s e n x d x = - c o s ⁡ ( x )

Logo:

1 2 ∫ s e n 7 x d x - ∫ s e n x d x = 1 2 - c o s 7 x 7 + cos ⁡ x + C

Resposta

1 2 - c o s 7 x 7 + cos ⁡ x + C

Exercícios de Livros Relacionados