Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Ver Teoria
Exercício 103123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Integrais Trigonométricas - UFRJ

Calcule as seguintes integrais

d) ∫ s e n 4 ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ s e n 4 ( x ) d x

Essa é moleza demais, lembremos da relação trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Podemos enxergar da seguinte forma:

∫ s e n 4 ( x ) d x = ∫ ( s e n 2 ( x ) ) ² d x

∫ ( s e n 2 ( x ) ) ² d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 2 d x

Agora que vem a parte trabalhosa, brace yourselves!

∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 2 d x = ∫ 1 4 - 2 1 2 1 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 2 x 4 d x

∫ 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 2 x 4 d x = ∫ 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 2 x 4 d x

Passo 2

Agora vamos usar a relação que é irmã da que usamos no início da questão:

c o s 2 ( x ) = 1 + cos ⁡ 2 x 2 = 1 2 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2

Bem, nesse caso é:

c o s 2 ( 2 x ) = 1 + cos ⁡ 4 x 2 = 1 2 + c o s ⁡ ( 4 x ) 2

Então:

∫ 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 x + c o s 2 2 x 4 d x = ∫ 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 x + 1 2 + c o s ⁡ ( 4 x ) 2 4 d x

= ∫ 1 4 - 1 2 cos ⁡ 2 x + 1 8 + + cos ⁡ 4 x 8 d x

∫ 3 8 - 1 2 cos ⁡ 2 x + c o s ⁡ ( 4 x ) 8 d x = 3 8 x - sen ⁡ 2 x 2 × 2 + sen ⁡ 4 x 8 × 4 + C

= 3 8 x - sen ⁡ 2 x 4 + sen ⁡ 4 x 32 + C

E é isso pessoal, finalizado 😊

Resposta

d) ∫ s e n 4 ( x ) d x = 3 8 x - sen ⁡ 2 x 4 + sen ⁡ 4 x 32 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral. ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x