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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integrais Trigonométricas - UFRJ

Calcule as seguintes integrais

g) ∫ t g 5 ( x ) s e c ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ t g 5 ( x ) s e c ⁡ ( x ) d x

Se você viu as resoluções das letras anteriores, observou que integrais parecidas com essa foram resolvidas fazendo substituições envolvendo t g ( x ) e relações sobre s e c ² ( x ) , aqui vamos fazer o contrário:

t g 2 x = s e c 2 x - 1

∫ t g 5 x sec ⁡ x d x = ∫ t g 4 x t g ( x ) sec ⁡ x d x

∫ s e c 2 x - 1 2 t g x x sec ⁡ x d x

Passo 2

Ok, hora da substituição:

u = s e c x

d u = t g ( x ) s e c ( x ) d x

d u t g ( x ) s e c ( x ) = d x

Portanto:

∫ s e c 2 x - 1 2 t g x x sec ⁡ x d x = ∫ u ² - 1 2 t g x x sec ⁡ x d u t g ( x ) s e c ( x )

= ∫ u ² - 1 2 d u

Passo 3

Desenvolvendo o binômio:

∫ ( u 4 - 2 u 2 + 1 ) d u = u 5 5 - 2 u 3 3 + u + C

Nice, quase partindo pro abraço galera, só precisamos retornar à variável x :

u = s e c x

u 5 5 - 2 u 3 3 + u + C = s e c 5 x 5 - 2 s e c 3 x 3 + s e c ⁡ ( x ) + C

E é isso, nos vemos por aí 😉

Resposta

g) ∫ t g 5 x sec ⁡ x d x = s e c 5 x 5 - 2 s e c 3 x 3 + s e c ⁡ ( x ) + C

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