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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integrais Trigonométricas - UFRJ

Calcule as seguintes integrais

h) ∫ t g 4 ( x ) d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos resolver integrais trigonométricas indefinidas.

∫ t g 4 ( x ) d x

Essa é moleza, mas vamos ter que separar em integrais distintas, lembrando que t g 2 x = s e c 2 x - 1 :

∫ t g 4 x d x = ∫ t g 2 ( x ) t g ² ( x ) d x

= ∫ t g 2 x s e c 2 x - 1 d x = ∫ t g 2 x s e c 2 x d x - ∫ t g 2 x d x

Analisemos elas separadas nos passos 2 e 3.

Passo 2

∫ t g 2 x s e c 2 x d x

Substituindo:

u = t g x

d u = s e c ² ( x ) d x

d u s e c 2 x = d x

Então...

∫ t g 2 x s e c 2 x d x = ∫ u ² s e c 2 x d u s e c 2 x

∫ u ² d u = u ³ 3 + A

u ³ 3 + A = t g ³ ( x ) 3 + A

Passo 3

∫ t g 2 x d x

∫ t g 2 x d x = ∫ ( s e c 2 x - 1 ) d x

∫ s e c 2 x d x - ∫ 1 d x = t g x - x + B

Passo 4

Agora é só juntar nossos megazords:

∫ t g 4 x d x = ∫ t g 2 x s e c 2 x d x - ∫ t g 2 x d x

E descobrimos nos passos 2 e 3 que:

∫ t g 2 x s e c 2 x d x = t g ³ ( x ) 3 + A   e   ∫ t g 2 x d x = t g x - x + B

Então:

∫ t g 4 x d x = t g 3 x 3 + A - t g x - x + B  

= t g 3 x 3 - t g x + x + C

E é isso, nos vemos por aí 😉

Resposta

h) ∫ t g 4 x d x = t g 3 x 3 - t g x + x + C

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