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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Prova Cálculo B MAT1158 P1

Considere a função f x = sec ⁡ π x

  1. Determine f ' e f ' ' (a primeira e segunda derivada de f )
  2. Determine o polimônio de grau 2 que melhor aproxima f em torno de x = 1 .

Passo 1

O que é secante?

sec ⁡ a x = 1 cos ⁡ a x

E agora lembrando que

d d x f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

e

d d x f x g x = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

Passo 2

  1. Então vamos derivar nossa secante

    2. f ' = d f d x = d d x 1 cos ⁡ π x = 1 ' ( cos ⁡ π x ) - 1 cos ⁡ π x ' cos 2 ⁡ π x = π   s e n   π x cos 2 ⁡ π x

    Que podemos resumir em

    π s e n   π x cos 2 ⁡ π x = π s e n   π x cos ⁡ π x ⋅ 1 cos ⁡ π x = π tan ⁡ π x s e c   π x

    Ou seja

    f ' = π tan ⁡ π x sec ⁡ π x

    E agora vamos derivar mais uma vez

    f ' ' = d f ' d x = d d x π tan ⁡ π x s e c   π x = π tan ⁡ π x ' sec ⁡ π x + tan ⁡ π x sec ⁡ π x '  

    Na qual

    tan ⁡ π x ' = d d x tan ⁡ π x = d d x s e n   π x cos ⁡ π x = s e n   π x ' cos ⁡ π x - s e n   π x cos ⁡ π x ' cos 2 ⁡ x =

    = π cos 2 ⁡ π x + s e n 2 π x cos 2 ⁡ π x = π cos 2 ⁡ π x = π sec 2 ⁡ π x

    E como já vimos no antes

    d d x sec ⁡ π x = π tan ⁡ π x sec ⁡ π x

    f ' ' = π tan ⁡ π x ' sec ⁡ π x + tan ⁡ π x sec ⁡ π x ' = π π sec 3 ⁡ π x + π tan 2 ⁡ π x sec ⁡ π x

    = π 2 sec ⁡ π x [ sec 2 ⁡ π x + tan 2 ⁡ π x ]

    Agora repare que

    sec 2 ⁡ π x - tan 2 ⁡ π x = 1 cos 2 ⁡ π x - s e n 2 π x cos 2 ⁡ π x = 1 - s e n 2 π x cos 2 ⁡ π x = cos 2 ⁡ π x cos 2 ⁡ π x = 1

    Assim

    sec 2 ⁡ π x + tan 2 ⁡ π x = sec 2 ⁡ π x + tan 2 ⁡ π x - tan 2 ⁡ π x + tan 2 ⁡ π x = 1 + 2 tan 2 ⁡ π x

    E por fim temos então que

    f ' ' = π 2 sec ⁡ π x ( 1 + 2 tan 2 ⁡ π x )

    Passo 3

  2. Quando escrevemos um polinômio entorno de um numero k , fazemos que

p x = ∑ i = 0 n a i x - k i

Entretanto queremos um polinomi de grau 2 , ou seja, i = 2 e entorno de k = 1 . Assim temos que

p x = a x - 1 2 + b x - 1 + c

Tomando p ' ( x ) e p ' ' x temos

p ' x = a x 2 - 2 a x + a + b x - b + c ' = 2 a x - 2 a + b

e

p ' ' x = 2 a x - 2 a + b ' = 2 a

Agora queremos que

p 1 = c = sec ⁡ π = - 1 p ' 1 = b = π tan ⁡ π sec ⁡ π = 0 p ' ' 1 = 2 a = π 2 sec ⁡ π 1 + 2 tan ⁡ π = π 2

Ou seja

c = - 1 b = 0 a = π 2 2

Assim nosso polinômio fica

p x = π 2 2 x - 1 2 - 1

Resposta

  1. f ' = π tan ⁡ π x sec ⁡ π x e f ' ' = π 2 sec ⁡ π x ( 1 + 2 tan 2 ⁡ π x )
  2. p x = π 2 2 x - 1 2 - 1

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