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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2019, VE2, Q2

  1. Determine o valor de k real que satisfaz a equação abaixo:

    2. ∫ 0 π x   f sin ⁡ x   d x = k ∫ 0 π f sin ⁡ x d x

  2. Utilize o resultado acima e determine o valor da integral abaixo:

∫ 0 π 2 x sin ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Vim ao socorro, bb! Na letra ( a ) é interessante utilizarmos a simetria do seno: sin ⁡ ( π - x ) = sin ⁡ x , tal que:

∫ 0 π x   f sin ⁡ x   d x = ∫ 0 π x   f sin ⁡ ( π - x )   d x

Substituindo u = π - x , temos d u = - d x e :

∫ 0 π x   f sin ⁡ ( π - x )   d x = ∫ π 0 π - u f sin ⁡ u ( - d u )

= ∫ 0 π π - u f sin ⁡ u d u  

= π ∫ 0 π f sin ⁡ u   d u - ∫ 0 π u f ( sin ⁡ u ) d u

Passando o segundo termo para o outro lado e dividindo por 2 , temos:

∫ 0 π x   f sin ⁡ x   d x = π 2 ∫ 0 π f sin ⁡ u d u

Logo, k = π 2 .

Passo 2

Para resolver a integral proposta, temos que:

∫ 0 π 2 x sin ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 x sin ⁡ x 2 - sin 2 ⁡ x d x

= π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x 2 - sin 2 ⁡ x d x

Como determinado no item ( a ) . E ainda assim, se considerarmos cos ⁡ x = t , com - sin ⁡ x d x = d t , teremos:

π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x 2 - sin 2 ⁡ x d x = π ∫ 0 π sin ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

= π ∫ 1 - 1 - d t 1 + t 2

= π - arctan ⁡ t 1 - 1

= π ( - arctan ⁡ - 1 + arctan ⁡ 1 )

= π π 4 + π 4 = π 2 2

Resposta

  1. k = π / 2
  2. π 2 / 2

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