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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.6 – Questão 1

A fórmula de integração por partes normalmente aparece nas tabelas de integrais em uma dessas duas formas:

∫ u d v = u v - ∫ v   d u             o u         ∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' ( x ) d x

Vejamos como aplicar a fórmula à integral ∫ 2 x - 1 s e n x   d x

  1. Escolhendo u = 2 x - 1 , qual deve ser a escolha para d v ?
  2. Para as escolhas do item acima, escreva u ,   d u ,   v ,   d v
  3. Substitua os valores do item acima na fórmula de integração por partes
  4. Resolva a integral do enunciado
  5. Escolhendo u = s e n   x , qual deve ser a escolha para d v ? Calcule d u e v e substitua na fórmula de integração por partes
  6. A fórmula do item acima não parece ser muito útil. Isso significa que está errada?

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos lembrou como é o método da integração por partes

E pediu para calcular essa integral aqui

∫ 2 x - 1 s e n x   d x

Por diversos meios, sempre aplicando o método por partes. Então eu vou copiando cada item e resolvendo junto com você!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo!

Passo 2

Letra (a): Escolhendo u = 2 x - 1 , qual deve ser a escolha para d v ?

Se nossa integral é essa aqui:

∫ 2 x - 1 s e n x   d x

E escolhemos u = 2 x - 1 , então d v é o restante do integrando:

d v = s e n   x   d x

Beleza? E é isso!

Passo 3

(b) Para as escolhas do item acima, escreva u ,   d u ,   v ,   d v

Já temos u e d v . Agora para calcular d u e v , precisamos derivar u e integrar d v :

u = 2 x - 1

d u = 2 d x

Beleza? Agora d v e v :

d v = s e n   x   d x

v = ∫ s e n x   d x = - cos ⁡ x

Tranquilo? Vamos para letra (c)?

Passo 4

Letra (c) Substitua os valores do item acima na fórmula de integração por partes

Bora lá?

A fórmula da integração é

∫ u d v = u v - ∫ v   d u

Lembrando de u ,   d u ,   v ,   d v :

u = 2 x - 1

d u = 2 d x

d v = s e n   x   d x

v = - cos ⁡ x

Agora é só substituir:

∫ 2 x - 1 s e n x   d x = 2 x - 1 - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x .   2 d x

= cos ⁡ x 1 - 2 x + 2 ∫ cos ⁡ x d x

Beleza?

Passo 5

Letra (d) Resolva a integral do enunciado

Agora é só resolver:

∫ 2 x - 1 s e n x   d x = cos ⁡ x 1 - 2 x + 2 ∫ cos ⁡ x d x

Temos que resolver apenas a integral mais à direita:

∫ 2 x - 1 s e n x   d x = cos ⁡ x 1 - 2 x + 2 s e n   x + C

+ C !

estamos quase lá!

Passo 6

Letra (e) Escolhendo u = s e n   x , qual deve ser a escolha para d v ? Calcule d u e v e substitua na fórmula de integração por partes

Se escolhermos u = s e n   x , o restante do integrando deve ser o d v :

∫ 2 x - 1 s e n x   d x

u = s e n   x

d v = ( 2 x - 1 ) d x

E agora vamos derivar u e integrar d v para encontrar d u e d v respectivamente:

u = s e n   x

d u = cos ⁡ x d x

E

d v = 2 x - 1 d x → ∫ d v = ∫ ( 2 x - 1 ) d x

v = x 2 - x

E por fim substituir na fórmula do método por partes:

∫ 2 x - 1 s e n x d x = x 2 - x s e n x - ∫ x 2 - x cos ⁡ x d x

Passo 7

Letra (f) A fórmula do item acima não parece ser muito útil. Isso significa que está errada?

Você percebeu que a escolha de u e d v influencia diretamente na dificuldade da próxima integração?

Quando escolhemos u como o polinômio, derivando, d u , encontramos uma constante, que posteriormente fará parte da integração do método. Já se invertemos a escolha, vamos integrar o polinômio, encontrando um outro polinômio de grau ainda maior

A fórmula está correta, mas não vai nos levar a um resultado definitivo. Quando isso acontecer você já sabe: inverte a escolha!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a ) d v = s e n   x   d x

b ) u = 2 x - 1

d u = 2 d x

d v = s e n   x   d x

v = - cos ⁡ x

c ) ∫ 2 x - 1 s e n x   d x

= cos ⁡ x 1 - 2 x + 2 ∫ cos ⁡ x d x

d ) ∫ 2 x - 1 s e n x   d x = cos ⁡ x 1 - 2 x + 2 s e n   x + C

e ) u = s e n   x

d v = ( 2 x - 1 ) d x

u = s e n   x

d u = cos ⁡ x d x

f ) N ã o

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