UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Integrais - Lista 4.8 - Integrais Trigonométricas, Questão 2
Ivan, Luciane, Maria Inez, Mykola e Sonia foram encarregados de resolver a integral . A resolução e a resposta de cada estão abaixo.
Ivan.
Luciane.
Maria Inez.
Mykola. Primeiro observemos que . Usando os dois primeiros passos do desenvolvimento da Maria Inez,
Sonia. Além da expressão apontada pelo Mykola para , usaremos também que . Assim,
Quem está certo? Todos obtiveram a mesma resposta?
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
Nós temos aqui um enunciado gigantesco! Está apresentando diferentes resoluções para uma mesma integral, feitas por Ivan, Luciane, Maria Inez, Mykola e Sonia. A integral que estão tentando resolver é a seguinte
Para sabermos quem está correto, vamos verificar as passagens de cada resolução individualmente, e ver se alguma passagem está incorreta! Se todas as passagens de todo mundo estiverem corretas, obviamente as respostas, mesmo que escritas de maneira diferente, são equivalentes! Vamos lá!
Passo 2
A resposta do Ivan é tal que
aqui ele usou que , e também que . Então, até aqui tudo bem. A próxima passagem usa então que
e, a integral se torna
se distribuirmos a integral acima e então usar a seguinte relação para a primitiva
Obtemos finalmente que
Então, a resolução do Ivan está correta em todas as passagens! A resolução da Luciane é bastante similar, mas usando que , lembrando que , e a substituição
Então, a resposta dela também não apresenta problemas em suas passagens! Vamos analisar as que são diferentes agora! Bora lá!
Passo 3
Maria Inez usou que , assim com a relação
ou seja, temos que
o processo agora é o mesmo das outras resoluções, mas note que eles usam que e que , de forma que a substituição agora é
e
obtendo então que
em que na última passagem usando a mesma identificação das primitivas que fizemos anteriormente! Então, essa solução também está correta! Ainda faltam mais duas! Bora lá!
Passo 4
Mykola usa que , que também é uma relação verdadeira, ou seja, além das passagens idênticas a de Luciane, que resultam em
a nova identidade nos leva à a seguinte expressão
As duas integrais restantes podem ser identificadas utilizando que
Portanto, o resultado final é realmente tal que
Ou seja, Mykola também está correto! Será que o último também?
Passo 5
Finalmente, será que a Sonia também está correta? Ela usa a relação que é correta
e, também a relação que Mykola utiliza para o . Podemos escrever então que
distribuindo os produtos, e identificando que
podemos juntar alguns termos como
como temos que . Obtemos finalmente que
assim como a relação anterior que foi usada por Maria Inez, podemos escrever o termo de , para obtermos
juntando alguns termos, obtemos que
de forma que finalmente podemos usar as substituições
e
e, também que
e
e, a nossa integral se torna simplesmente
Maravilha! Se todas as passagens estão corretas! Então, a integral está correta, e sim, todas as respostas são equivalentes! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!