Mostre que

Vamos primeiro usar a relação de meio ângulo para , temos que

Ótimo! Isso faz a nossa integral se tornar

aqui a criatividade já começa a ser necessária! Vamos usar a seguinte verdade, temos que , portanto, podemos escrever que

note que eu também separei no denominador . Tudo bem até aqui? Tenta absorver o que fiz e vamos para o próximo passo!

Esse passo é um pouco incomum nos métodos de resolver integrações, mas a parte que eu deixei em colchetes no integrando anterior (você pode testar se quiser) é equivalente à

Portanto, a nossa integral pode ser escrita como

Que ótimo, fui resolver uma integral e fiz surgir mais uma! Mas isso não é um problema, na verdade é a nossa salvação! Saca só!

Como as variáveis e são independentes podemos inverter a ordem da integração a vontade, temos que

agora, se eu multiplicar e dividir o integrando por , tenho que

de forma que posso fazer a mudança de variáveis

e

obtendo a seguinte integral

Essa integral que surgiu em é um problema de matemática clássico e resulta em . Eu estava na dúvida se tomava o resultado como conhecido ou demonstrava, mas, para não te deixar na mão! Vamos continuar a partir daqui! Bora lá!

Essa integral por si só já é uma baita trabalheira! Então vamos com calma, ela também requer uns métodos não muito comuns. O que vou fazer aqui é introduzir um parâmetro positivo, chamemos de , que irá nos permitir simplificar ainda mais o integrando, vamos escrever a seguinte integral

Essa não é a nossa integral, mas a nossa integral é recuperada se fizermos

guarde essa informação, pois esse é o segredo de nossa vitória! Tá, mas como resolver a integral do lado esquerdo? Antes de integrar vamos dar um passo atrás e derivar essa função em relação a , temos que

note que eu só pude entrar com a derivada porquê a minha integral só se importa com . A vantagem de fazer isso é que derivando a exponencial, temos que

Maaaaaravilhoso! Sabe por quê? O lado direito disso nós sabemos resolver! Você pode fazer a integral por partes se quiser, mas isso já está indo longe demais. Esse lado direito é a transformada de laplace da função , portanto, podemos olhar em uma tabela para encontrar que

Ou seja, temos que

Uff… finalmente parece que estamos chegando em algum lugar! Consegue imaginar o que fazer agora?

Como temos agora apenas uma função de , podemos integrar ambos os lados para obter

essa integral é bem conhecida como

Portanto, temos que

Okay! Mas, ainda precisamos achar essa constante! Vamos lembrar que definimos , temos que

Uma maneira simples de achar quem é essa constante, é fazer o limite no infinito dos dois lados dessa expressão, temos o seguinte

Como estamos fazendo o limite apenas em , temos que a exponencial tende a . Usando também que o limite de constantes é sempre a própria constante, e que

Temos que

Portanto, temos a constante . Ótimo! Agora conseguimos finalmente achar a nossa integral!

Usando o valor da constante, temos que

Mas não é isso que queremos, lembra da informação que pedi para guardar lá atrás? A integral que queremos é o limite quando , como temos que , obtemos simplesmente que

Pensei que nunca chegaria nisso! Ahahaha, mas ainda não acabou! Volta lá no enunciado, não é isso que queremos! Só mais um passinho, eu prometo! Vem comigo!

Substituindo o resultado que obtivemos no passo anterior da relação que tínhamos obtido lá atrás, temos que

bem… isso é a integral de uma constante, então, temos simplesmente que

Ou resumindo, temos que

Como eu disse! O enunciado provavelmente está errado! A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!