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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2021, VF, Q5A

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo:

  1. ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ u sin ⁡ u + 1 + cos ⁡ u d u

  2. ∫ 2 x - x 2 d x

  3. ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

Passo 1

Faaala, matuto! Quando temos somas de senos e cossenos é interessante apelar para a transformação em tan ⁡ u / 2 . Assim, para resolver:

I = ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ u sin ⁡ u + 1 + cos ⁡ u d u

Considere as manipulações:

sin ⁡ u = 2 tan ⁡ u / 2 1 + tan 2 ⁡ u / 2                               cos ⁡ u = 1 - tan ⁡ u / 2 1 + tan 2 ⁡ u / 2

E a substituição t = tan ⁡ u / 2 , tal que:

d t = 1 2 sec 2 ⁡ u 2 d u = 1 2 1 + tan 2 ⁡ u 2   d u

⇒ d t = 1 2 ( 1 + t 2 ) d u

⇒ d u = 2 d t 1 + t 2

Assim,

I = ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ u sin ⁡ u + 1 + cos ⁡ u d u = ∫ 0 1 2 ⋅ 2 t 1 + t 2 2 t 1 + t 2 + 1 + 1 - t 2 1 + t 2 2 d t 1 + t 2

= 8 ∫ 0 1 t 2 t + 1 + t 2 + 1 - t 2 d t 1 + t 2

= 8 ∫ 0 1 t ( 2 t + 2 ) ( 1 + t 2 ) d t

= 4 ∫ 0 1 t ( t + 1 ) ( 1 + t 2 ) d t

Passo 2

Aplicando o método das frações parciais, temos:

I = 4 ∫ 0 1 t ( t + 1 ) ( 1 + t 2 ) d t

= 4 ∫ 0 1 A t + 1 + B t + C 1 + t 2 d t

De modo que:

t ( t + 1 ) ( 1 + t 2 ) = A t + 1 + B t + C 1 + t 2

⇒ t = A 1 + t 2 + ( t + 1 ) ( B t + C )

⇒ t = t 2 A + B + t B + C + ( A + C )

Logo, pela identidade polinomial:

A + B = 0 B + C = 1 A + C = 0 ⇒ A = - B - A + C = 1 A + C = 0 ⇒ B = 1 / 2 A = - 1 / 2 C = 1 / 2

Desse modo,

I = 4 ∫ 0 1 - 1 / 2 t + 1 + t / 2 + 1 / 2 1 + t 2 d t

= 2 ∫ 0 1 - 1 t + 1 + t 1 + t 2 + 1 1 + t 2 d t

= 2 - ln ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 + arctan ⁡ t 0 1

= 2 - ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + π 4 - 0

Assim,

I = π 2 - ln ⁡ 2

Resposta

I = π 2 - ln ⁡ 2

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