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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 5 - Integrais, Questão 5r

Resolva a integral

∫ 0 π / 2 c o s 2   x   d x

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é resolver a integral.

∫ 0 π / 2 c o s 2   x   d x

essa é trabalhosa, então vamos com calma

podemos usar o fato que

c o s ( 2 x ) = - 1 + 2 c o s 2 x

⇒ c o s 2 x = 1 / 2 + c o s ( 2 x ) / 2

substituindo na integral

∫ 0 π / 2 c o s 2   x   d x = ∫ 0 π / 2 1 / 2 + c o s ( 2 x ) / 2   d x

Usando a linearidade da integral

= ∫ 0 π / 2 1 / 2   d x + ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 x ) / 2   d x

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que a nossa integral é

∫ 0 π / 2 1 / 2   d x + ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 x ) / 2   d x

vamos começar resolvendo a integral da esquerda

∫ 0 π / 2 1 / 2   d x = x / 2 | x = 0 x = π / 2

= π / 4

Agora, vamos fazer a da direita

∫ 0 π / 2 c o s ( 2 x ) / 2   d x

Podemos pensar nas derivadas dos senos e cossenos ao invés de tentar integrar diretamente.

Vamos derivar s i n ( 2 x ) / 4

derivando temos:

d d x s i n ( 2 x ) / 4 = c o s ( 2 x ) / 2

Logo

∫ c o s ( 2 x ) / 2   d x = s i n ( 2 x ) / 4

Ou seja,

∫ 0 π / 2 c o s ( 2 x ) / 2   d x = s i n ( π ) / 4 - s i n ( 0 ) / 4

= 0

Juntando tudo, temos

∫ 0 π / 2 1 / 2   d x + ∫ 0 π / 2 c o s ( 2 x ) / 2   d x = π / 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

π / 4

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