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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFF, Niterói - Campus da Praia Vermelha, Cálculo IA, P3 - 2023.1a

1 .   C a l c u l e   a s   s e g u i n t e s   i n t e g r a i s :

( b )   ∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

V a m o s   c a l c u l a r   a   i n t e g r a l   ∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x .

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição trigonométrica. Neste caso, vamos usar a identidade trigonométrica c o s 2 ⁡ ( x ) = 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) para simplificar a integral.

Começamos com a integral original:

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x

Usando a identidade c o s 2 ⁡ ( x ) = 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) , podemos reescrever c o s 3 ⁡ ( x ) como c o s ⁡ ( x ) ⋅ c o s 2 ⁡ ( x )

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ c o s ⁡ ( x ) ⋅ 1 - s i n 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

A g o r a ,   f a z e m o s   a   s u b s t i t u i ç ã o   u = s i n ⁡ ( x ) , d u = c o s ⁡ ( x ) d x ,   p a r a   s i m p l i f i c a r   a   i n t e g r a l :

∫ 1 - u 2 d u

I n t e g r a n d o   e m   r e l a ç ã o   a   u   :

∫ 1 - u 2 d u = u - u 3 3 + C

A g o r a ,   s u b s t i t u i n d o   u = s i n ⁡ ( x )   :

∫ c o s 3 ⁡ ( x ) d x = s i n ⁡ ( x ) - s i n 3 ⁡ ( x ) 3 + C

Passo 3

A g o r a ,   v a m o s   a v a l i a r   a   i n t e g r a l   d e f i n i d a :

∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = s i n ⁡ ( x ) - s i n 3 ⁡ ( x ) 3 0 π 4

S u b s t i t u i n d o   π 4   n a   e x p r e s s ã o :

s i n ⁡ π 4 - π 4   3 - s i n ⁡ ( 0 ) - s i n 3 ⁡ ( 0 ) 3

2 2 - 2 2 3 3 - ( 0 - 0 )

2 2 - 1 12

P o r t a n t o ,   ∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = 2 2 - 1 12 .

Resposta

∫ 0 π 4   c o s 3 ⁡ ( x ) d x = 2 2 - 1 12 .

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