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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IA, P3 - 2023.1, Questão 1c

1 .   C a l c u l e   a s   s e g u i n t e s   i n t e g r a i s :

( c )   ∫ 0 2 π   x s e n ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral ∫ 0 2 π   x s i n ⁡ ( x ) d x .

Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, que é uma técnica que envolve o produto de duas funções.

A fórmula da integração por partes é dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde u e v são funções diferenciáveis em relação a x , e d u e d v são as suas respectivas derivadas.

Vamos escolher u = x e d v = s i n ⁡ ( x ) d x . Portanto, temos:

d u = d x

v = - c o s ⁡ ( x )

Passo 2

A p l i c a n d o   a   f ó r m u l a   d a   i n t e g r a ç ã o   p o r   p a r t e s :

∫ x s i n ⁡ ( x ) d x = - x c o s ⁡ ( x ) - ∫ ( - c o s ⁡ ( x ) ) d x

= - x c o s ⁡ ( x ) + ∫ c o s ⁡ ( x ) d x

= - x c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) + C

Passo 3

A g o r a ,   v a m o s   a v a l i a r   a   i n t e g r a l   d e f i n i d a :

∫ 0 2 π   x s i n ⁡ ( x ) d x = [ - x c o s ⁡ ( x ) + s i n ⁡ ( x ) ] 0 2 π

S u b s t i t u i n d o   2 π   e   0   n a   e x p r e s s ã o :

[ - 2 π c o s ⁡ ( 2 π ) + s i n ⁡ ( 2 π ) ] - [ 0 c o s ⁡ ( 0 ) + s i n ⁡ ( 0 ) ]

[ 0 + 0 ] - [ 0 + 0 ]

0

P o r t a n t o ,   ∫ 0 2 π   x s i n ⁡ ( x ) d x = 0 .

Resposta

∫ 0 2 π   x s i n ⁡ ( x ) d x = 0 .

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