Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Ver Teoria
Exercício 162123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - 2021.1, Questão 18

Verifique as igualdades

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   . �� .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   . ; (1)

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m ; (2)

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m   ; (3)

e

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L   ; (4)

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   . (5)

utilizando as identidades trigonométricas a seguir

c o s 2   ( α )   =   1   +   c o s ( 2 α ) 2 ;   (6)

s e n 2   ( α )   =   1   -   c o s ( 2 α ) 2 ;   (7)

s e n ( α )   c o s ( β )   =   s e n ( α   +   β )   +   s e n ( α   −   β )   2   ; (8)

s e n ( α )   s e n ( β )   =   c o s ( α   -   β )   -   c o s ( α   +   β )   2   ; (9)

c o s ( α )   c o s ( β )   =   c o s ( α   +   β )   +   c o s ( α   −   β )   2   . (10)

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verifique as igualdades

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   . ; (1)

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m ; (2)

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n   ≠ m   ; (3)

e

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L   ; (4)

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L   . (5)

utilizando as identidades trigonométricas a seguir

c o s 2   ( α )   =   1   +   c o s ( 2 α ) 2 ;   (6)

s e n 2   ( α )   =   1   -   c o s ( 2 α ) 2 ;   (7)

s e n ( α )   c o s ( β )   =   s e n ( α   +   β )   +   s e n ( α   −   β )   2   ; (8)

s e n ( α )   s e n ( β )   =   c o s ( α   -   β )   -   c o s ( α   +   β )   2   ; (9)

c o s ( α )   c o s ( β )   =   c o s ( α   +   β )   +   c o s ( α   −   β )   2   . (10)

Vamos utilizar essas trigonométricas e calcular as integrais para verificar essas relações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos verificar a relação (1):

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   .

Vamos utilizar a relação (8):

s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   =   s e n [ ( n + m )   π L x ]   +   s e n [ ( n - m )   π L x ]   2  

Substituindo na integral e já resolvendo, pois são integrais tabeladas:

∫ - L L s e n [ ( n + m )   π L x ]   +   s e n [ ( n + m )   π L x ]   2   d x   = - 1 2 ( c o s [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + c o s [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L  

Como o resultado é uma função par, quando aplicarmos os limites de integração [ - L , L ] teremos

f ( L ) - f ( - L ) = f ( L ) - f ( L ) = 0

Então temos que:

- 1 2 ( c o s [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + c o s [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L = 0

Assim verificamos que:

∫ - L L s e n (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   .

Passo 3

Vamos verificar a relação (2):

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   n   ≠ m  

Vamos utilizar a relação (10):

c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   =   c o s [ ( n + m )   π L x ]   +   c o s [ ( n - m )   π L x ]   2  

Substituindo na integral e já resolvendo, pois são integrais tabeladas:

∫ - L L c o s [ ( n + m )   π L x ]   +   c o s [ ( n - m )   π L x ]   2   d x   = 1 2 ( s e n [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + s e n [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L  

Como o resultado é uma função ímpar, quando aplicarmos os limites de integração [ - L , L ] teremos

f ( L ) - f ( - L ) = f ( L ) + f ( L ) = 2   f ( L )

Então temos que:

1 2 ( s e n [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + s e n [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L =   L π ( s e n [ ( n + m ) π ]   ( n + m ) + s e n [ ( n - m ) π ]   ( n - m ) )

Para   n   ≠ m , teremos s e n [ k π ] , sendo k = ( n + m ) ou k = ( n - m ) um número inteiro, e sabemos que s e n [ k π ] = 0 . Então,

  L π ( s e n [ ( n + m ) π ]   ( n + m ) + s e n [ ( n - m ) π ]   ( n - m ) ) = 0

Assim verificamos que:

∫ - L L c o s (   n π L x )     c o s   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   n   ≠ m  

Passo 4

Vamos verificar a relação (3):

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x ) d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   n   ≠ m  

Vamos utilizar a relação (9):

s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   =   - c o s [ ( n + m )   π L x ]   +   c o s [ ( n - m )   π L x ]   2  

Substituindo na integral e já resolvendo, pois são integrais tabeladas:

∫ - L L - c o s [ ( n + m )   π L x ]   +   c o s [ ( n - m )   π L x ]   2   d x   = 1 2 ( - s e n [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + s e n [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L  

Como o resultado é uma função ímpar, quando aplicarmos os limites de integração [ - L , L ] teremos

f ( L ) - f ( - L ) = f ( L ) + f ( L ) = 2   f ( L )

Então temos que:

1 2 ( - s e n [ ( n + m )   π L x ]   ( n + m )   π L + s e n [ ( n - m )   π L x ]   ( n - m )   π L ) | - L L =   L π ( - s e n [ ( n + m ) π ]   ( n + m ) + s e n [ ( n - m ) π ]   ( n - m ) )

Para   n   ≠ m , teremos s e n [ k π ] , sendo k = ( n + m ) ou k = ( n - m ) um número inteiro, e sabemos que s e n [ k π ] = 0 . Então,

  L π ( - s e n [ ( n + m ) π ]   ( n + m ) + s e n [ ( n - m ) π ]   ( n - m ) ) = 0

Assim verificamos que:

∫ - L L s e n (   n π L x )     s e n   (   m π L x )   d x   =   0 ,   n   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   m   =     1 ,   2 ,   .   .   .   n   ≠ m  

Passo 5

Vamos verificar a relação (4):

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L  

Vamos utilizar a relação (6):

c o s 2   (   n π L x )   =   1   +   c o s ( 2   n π L x ) 2  

Substituindo na integral e já resolvendo, pois são integrais tabeladas:

∫ - L L   1   +   c o s ( 2   n π L x ) 2   d x   = 1 2 ( x + s e n ( 2   n π L x ) 2   n π L ) | - L L  

Como o resultado é uma função ímpar, quando aplicarmos os limites de integração [ - L , L ] teremos

f ( L ) - f ( - L ) = f ( L ) + f ( L ) = 2   f ( L )

Então temos que:

1 2 ( 2 L + L s e n ( 2 n π ) n π ) | - L L = L + L s e n ( 2 n π ) 2 n π

Como n é um número inteiro, e sabemos que s e n [ 2 n π ] = 0 . Então,

L + L s e n ( 2 n π ) 2 n π = L + 0

Assim verificamos que:

∫ - L L c o s 2 (   n π L x )     d x   =   L  

Passo 6

Vamos verificar a relação (4):

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L  

Vamos utilizar a relação (7):

s e n 2   (   n π L x )   =   1   -   c o s ( 2   n π L x ) 2  

Substituindo na integral e já resolvendo, pois são integrais tabeladas:

∫ - L L   1   -   c o s ( 2   n π L x ) 2   d x   = 1 2 ( x - s e n ( 2   n π L x ) 2   n π L ) | - L L  

Como o resultado é uma função ímpar, quando aplicarmos os limites de integração [ - L , L ] teremos

f ( L ) - f ( - L ) = f ( L ) + f ( L ) = 2   f ( L )

Então temos que:

1 2 ( 2 L - L s e n ( 2 n π ) n π ) | - L L = L - L s e n ( 2 n π ) 2 n π

Como n é um número inteiro, e sabemos que s e n [ 2 n π ] = 0 . Então,

L - L s e n ( 2 n π ) 2 n π = L - 0

Assim verificamos que:

∫ - L L s e n 2 (   n π L x )     d x   =   L  

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral. ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x