Passo 1

(a) O cálculo da carga é uma integral, direta:

Q r = ∫ x = 0 x = r ρ 0 . x - 3 . R 4 . d V  

E quem é d V ? Vamos ver:

V x = 4 3 . π . x 3 → d V = 4 . π . x 2 . d x

Substituindo:

Q r = ∫ x = 0 x = r ρ 0 . x - 3 . R 4 . 4 . π . x 2 . d x = 4 . π . ρ 0 . ∫ x = 0 x = r x 3 . d x - 3 . R . π . ρ 0 . ∫ x = 0 x = r x 2 . d x

= 4 . π . ρ 0 . r 4 4 - 3 . R . π . ρ 0 . r 3 3 = π . ρ 0 . r 3 ( r - R )

Passo 2

(b) Fazendo lei de Gauss nessa região, podemos encontrar o campo elétrico quando r < R :

Q r ϵ 0 = 4 . π . r 2 . E r → E r = Q r 4 . π . r 2 . ϵ 0 = π . ρ 0 . r 3 r - R 4 . π . r 2 . ϵ 0 = ρ 0 . r . r - R 4 . ϵ 0

Passo 3

(c) Quando o raio é maior que R , temos a carga total dentro da superfície gaussiana. Então, a quação do campo fica bem parecida com aquela equação estudada em cargas puntiformes:

E r = 1 4 . π . ϵ 0 . Q T O T A L r 2

Voltemos à letra (a), passo 1, a carga total é lá obtida quando tomamos Q ( R ) :

Q T O T A L = Q R = π . ρ 0 . R 2 R - R = 0

Então, como não temos cargas dentro da gaussiana, o campo elétrico é, na verdade, nulo.

Passo 4

Resposta

Letra (a)

π . ρ 0 . r 3 ( r - R )

Letra (b)

ρ 0 . r . r - R 4 . ϵ 0

Letra (c)

0

Letra (d)

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