Uma esfera isolante de raio R 1 possui uma carga + Q uniformemente distribuída em todo o seu volume. Esta esfera é concêntrica a uma casca esférica condutora de raio interno R 2 e raio externo R 3 que é carregada com uma carga - Q tal como indicado na figura.

O gráfico que melhor descreve o campo elétrico nas regiões I a IV é:

Passo 1

Beleza, esse é um problema clássico de Lei de Gauss, que é dada por:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A ideia aqui é a seguinte, vamos aproveitar a simetria esférica do problema e escolher uma gaussiana também esférica.

Fazendo isso, garantimos, em todos os pontos da gaussiana, que o módulo do campo elétrico é constante, e que os vetores E → e d A → são paralelos. Como resultado, podemos escrever a Lei de Gauss da seguinte forma:

E . A = E . 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Onde A = 4 π r 2 corresponde à área da superfície gaussiana.

Assim, o nosso trabalho aqui é, para cada região, determinar a carga interna Q i n t .

Passo 2

  • Região I r < R 1 :
  • Essa região corresponde ao interior da esfera carregada com carga + Q uniformemente em todo o seu volume. Dessa forma, podemos usar a definição de densidade volumétrica de carga uniforme:

    ρ = Q i n t 4 π r 3 3 = Q 4 π R 1 3 3

    Q i n t = Q r 3 R 1 3

    Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos:

    E I = 1 4 π ϵ 0 r 2   Q r 3 R 1 3

    E I = Q r 4 π ϵ 0 R 1 3

    Nessa região, o campo cresce linearmente de acordo com a variável r . Com isso, já podemos eliminar as alternativa C e E .

    Passo 2

    Podemos repetir o cálculo para todas as outras regiões, mas vamos dar uma olhada nas opções que nos sobraram:

    Em todas as opções, o campo nas regiões I I R 1 ≤ r ≤ R 2 e I I I R 2 ≤ r ≤ R 3 são extamente iguais. Dessa forma, podemos ser malandos e partir direto pra região I V r ≥ R 3 .

  • Região I V r ≥ R 3 :

Nessa região, a gaussiana engloba todo o sistema, então a carga Q i n t será a soma das cargas na esfera (de raio R 1 ) e na casca esférica (de raios R 2 e R 3 ). Logo:

Q i n t = + Q - Q = 0

Finalmente:

E I V = 0

A resposta certa é a letra D .

Passo 3

Caso quiséssemos calcular os campos para as regiões I I e I I I , a ideia seria a seguinte: para a região I I , Q i n t = Q (que corresponde à carga de toda a esfera de raio R 1 ), e para a região I I I , basta lembrar que o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

Logo:

Q i n t I I = Q → E I I = Q 4 π ϵ 0 r 2

E I I I = 0

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados