Halliday - Vol. 3 – 9º edição – Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 73
(Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 73) Uma esfera não condutora tem uma densidade volumétrica de cargas uniforme . Seja r o vetor que liga o centro da esfera a um ponto genérico P no interior da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por . (Observe que o resultado não depende do raio da esfera.) (b) Uma cavidade esférica é aberta na esfera, como mostra a Fig. 23-56. Usando o princípio da superposição, mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e é dado por , onde é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade.
Passo 1
Eaeee gente, tranquilo? Vamos lá pra mais uma!
Aqui temos uma esfera com densidade volumétrica , e aí queremos encontrar:
- O campo elétrico em um ponto dentro da esfera
- O campo elétrico dentro de uma cavidade esférica que é aberta
Para isso, vamos usar a Lei de Gauss
Boraaa
Passo 2
(a) Para calcular o módulo do campo elétrico dentro da esfera, vamos utilizar a lei de Gauss:
Primeiramente vamos encontrar a carga envolvida, :
Onde V é o volume da superfície Gaussiana, nesse caso vamos escolher uma casca esférica de raio r menor que a esfera não condutora. Portanto:
e
Como, nessa superfície o módulo do campo é constante:
Logo:
Como o campo tem direção radial:
Ebaaa, ta comprovado a letra a
Passo 3
(b) Podemos imaginar que essa cavidade é na verdade uma esfera de densidade volumétrica de carga , dentro da esfera maior de carga . Portanto, para calcular o campo gerado por essas duas esferas, basta somar o campo gerado individualmente por cada uma:
Então:
Arrasamos né!
Resposta
(a)(b)