A figura abaixo ilustra uma esfera maciça e não-condutora, de raio R e densidade volumétrica de carga constante e positiva ρ . Na figura, r denota uma distância radial arbitrária ao centro O da esfera. Tal esfera está localizada no vácuo, cuja constante de permissividade elétrica é dada por ε 0 .

  1. Calcule o módulo do campo elétrico na região r < R .
  2. Calcule o módulo do campo elétrico na região r > R .
  3. Esboce um gráfico qualitativo descrevendo como os módulos dos campos elétricos calculados nos itens (a) e (b) acima variam com a distância r , onde 0 ≤ r ≤ ∞ .

Passo 1

a) Uma coisa importante aqui é notar que a esfera é feita de material não-condutor. A gente sabe que quando o material é condutor e está carregado, ou seja, possui cargas em excesso, essas cargas ficam distribuídas sobre a superfície do material, mesmo que o objeto seja maciço, e o campo elétrico em r < R é nulo em todos os pontos da esfera.

Esse não é o caso deste problema, já que a carga que a esfera maciça possui fica distribuída uniformemente ao longo de todo o seu volume.

Vamos ver cada caso um dos casos: r < R e r > R .

Para calcular cada um dos campos, vamos utilizar a lei de Gauss, que afirma o seguinte:

Φ E = ∮ S E → ⋅ d A → = Q i n t ε 0   ,

ou seja, o fluxo do campo elétrico E → através da superfície fechada S é diretamente proporcional à carga líquida Q i n t que está no interior de S .

Passo 2

a) Para r < R :

Vamos começar imaginando uma superfície gaussiana esférica de raio r inscrita no volume da esfera. Como ρ > 0 , então a carga Q ( r ) que está na região r < R produz um campo elétrico que se afasta do centro da esfera.

Além disso, pela simetria do problema, o campo elétrico tem componente apenas na direção radial e tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície gaussiana fechada r . Então, o campo elétrico é:

E → = E r r ^   ,  

mostrando que o campo elétrico é radial.

A área deve ser tomada sempre apontando para fora da superfície gaussiana fechada. Por isso,

d A → = d A   r ^   ,

ou seja,  d A → é um vetor paralelo ao vetor campo elétrico  E → em todos os pontos da superfície gaussiana. Colocando isso no lado esquerdo da lei de Gauss, teremos:

Φ E = ∮ S E → ⋅ d A → = ∮ S E r d A = E r ∮ S d A = E r 4 π r 2 .

Bom, agora precisamos ver como é o lado direito da lei de Gauss. Como o problema diz que a distribuição de cargas é uniforme e é ρ , isso significa que:

ρ = Q r 4 π r 3 3   ,

sendo que Q ( r ) é a carga total que está no volume 4 π r 3 3 .

Uma vez que temos a carga no interior da superfície gaussiana fechada S , podemos escrever a lei de Gauss como

Φ E = E r 4 π r 2 = 4 π r 3 3 ρ ε 0   ,

o que dá um campo elétrico cujo módulo é

E r = ρ r 3 ε 0   .

Essa equação mostra que o campo elétrico cresce linearmente com a distância r a partir do centro.

Para finalizar, o vetor campo elétrico na região r < R é

E → = E r   r ^ = ρ r 3 ε 0 r ^   .

Passo 3

b) Para r > R :

Para essa região valem os mesmos argumentos de simetria que fizemos para o campo elétrico no caso de r < R , ou seja, é radial e depende apenas da distância r a partir do centro da esfera. Por isso, o campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da gaussiana esférica e aponta na direção radial   r ^ para fora da superfície, já que ρ > 0 .

Com isso, o lado esquerdo lei de Gauss será também

∮ S E → ⋅ d A → = E r 4 π r 2 .

Nesse caso, como a nossa gaussiana engloba toda a carga da esfera não-condutora, a carga Q i n t total dentro da superfície gaussiana esférica será

Q i n t = 4 π R 3 3 ρ   .

Juntando as duas últimas expressões, teremos um vetor campo elétrico

E → = E r   r ^ = ρ R 3 3 ε 0 r 2   r ^   .

Aqui é importante notar o seguinte: essa última expressão mostra que, para r > R , temos um campo elétrico que varia com 1 / r 2 , que tem o mesmo comportamento do campo gerado por uma carga puntiforme igual a carga total da esfera que estivesse colocada no centro da esfera. Por isso, nesse caso, por causa simetria, é como se a carga total da esfera maciça não condutora estivesse toda localizada em um único ponto, o centro da esfera. Mas fica ligado, isso é para r > R e por causa da simetria esférica do problema!!!

Passo 4

c) Como vimos, para r < R , o campo elétrico comporta-se linearmente com a distância r do centro da esfera. Para r > R , o campo elétrico decresce com o aumento de r e é proporcional a 1 / r 2 . Exatamente na superfície, ou seja, onde r = R , os dois campos elétricos têm o mesmo valor e a intensidade correspondente é:

E → = E r   r ^ = ρ R 3 ε 0   r ^   .

Juntando esses comportamentos em um gráfico, temos o seguinte:

Resposta

  1. r < R :   E → = E r   r ^ = ρ r 3 ε 0 r ^   ;
  2. r > R :   E → = E r   r ^ = ρ R 3 3 ε 0 r 2   r ^   ;
  3. Ver Passo 4.

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