1 4 . Um cabo coaxial simples consiste de um cilindro condutor maciço, infinito, de seção transversal circular de raio R e uma casca condutora cilíndrica, infinita e coaxial ao cilindro, de raio interno 2 R e raio externo 3 R . O cilindro possui uma quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo igual a + λ e a casca possui uma quantidade de carga por unidade de comprimento igual a - λ , onde λ é uma constante positiva. Nessa situação, podemos afirmar que a densidade superficial de carga na superfície interna da casca e o módulo do campo elétrico a uma distância s do eixo comum, tal que R < s < 2 R , valem, respectivamente:

Escolha uma opção:

a .   - λ 2 π R e λ 4 π ϵ 0 s

b .   - λ 4 π R e λ 2 π ϵ 0 s

c .   0 e 0

d .   - λ 4 π R e λ 4 π ϵ 0 s 2

e .   0 e λ 4 π ϵ 0 s

f .   - λ 2 π R e 0

g .   0 e λ 2 π ϵ 0 s

h .   0 e λ 4 π ϵ 0 s

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Primeiro vamos visualizar o que temos em mãos, o cenário que o enunciado descreveu é o seguinte:

Temos que encontrar a densidade de carga superficial da superfície interna da casca de raio 2 R que o enunciado pede.

Densidade de carga superficial é dada por carga por área, então teríamos que:

σ = q A

Mas como vamos mexer com a área de uma coisa que infinita? Vamos contornar isso usando o fato de que a carga é distribuída igualmente por essa superfície.

Então podemos considerar um trecho de comprimento l da superfície interna e fazer essa análise para ela e isso vai ser o mesmo para qualquer parte da superfície.

Para encontrar o campo elétrico na região R < s < 2 R , que é a região entre o cilindro e a casca, vamos usar a lei de Gauss, dada por:

∫ S E → ⋅ d A → = q i n t ϵ 0

Para aplicar essa lei, vamos usar uma superfície cilíndrica de comprimento L e raio s fechada que engloba o cilindro, o elemento de área d A → vai ser perpendicular a superfície lateral desse cilindro que imaginamos, logo ela vai ser paralela a E → , assim:

∫ S E d A = q i n t ϵ 0

A carga interna q i n t vai ser a carga dentro do nosso cilindro de comprimento L .

Agora que temos tudo o que precisamos, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar com a densidade superficial de carga.

Temos que:

σ = q A

Como já falamos no passo 1 , vamos considerar um pedaço da superfície de comprimento l , como temos a densidade linear de cargas - λ dessa casca, a carga nesse pedaço l é dada por:

q = - λ l

A área desse pedaço de superfície vai ser o mesmo que a área da superfície de um cilindro de raio 2 R , assim:

A = 2 π ( 2 R ) l

Então temos que:

σ = - λ l 2 π 2 R l

⇒ σ = - λ 4 π R

Ponto, temos a densidade que queríamos.

Passo 3

Agora vamos calcular o campo na região que queremos. Temos o seguinte da lei de Gauss.

∫ S E d A = q i n t ϵ 0

Como o campo de um cilindro é homogêneo, temos:

E ∫ S d A = q i n t ϵ 0

Essa integral em d A é igual a área do cilindro de comprimento L e raio s que estamos considerando, assim:

E ( 2 π s L ) = q i n t ϵ 0

A carga interna q i n t já que temos a densidade linear de carga, vai ser dada por q i n t = λ L , assim:

E ( 2 π s L ) = λ L ϵ 0

⇒ E = λ 2 π ϵ 0 s

Prontinho, temos o campo que queríamos, assim a nossa alternativa vai ser a letra b .

Resposta

b .   - λ 4 π R e λ 2 π ϵ 0 s

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