(Capítulo 23.4 – Exercício 13) Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região da atmosfera terrestre aponta verticalmente para baixo. A uma altitude de 300 m, o campo tem um módulo de 60,0 N/C; a uma altitude de 200 m, o módulo é 100 N/C. Determine a carga em excesso contida em um cubo com 100 m de aresta e faces horizontais a 200 e 300 m de altitude.

Passo 1

Fala aaaiii galeraa!!

O problema nos pediu para determinar a carga em excesso contida em um cubo com 100 m de aresta e faces horizontais a 200 e 300 m de altitude, vamos dar uma olhada na situação:

Mas como?

A carga em excesso pode ser achada usando a equação de Gauss:

ϕ = q / ϵ 0

q = ε 0 Φ

Aqui nós sabemos que:

ε 0 = 8,85 x 10 - 12 F m

Mas não temos nada sobre o fluxo elétrico!

E agora?

Não criemos pânico, podemos achar o fluxo elétrico utilizando sua definição:

Φ = ∮ E → ⋅ d A →

Onde E → é o campo elétrico e d A → é o vetor infinitesimal área que é perpendicular a área

Então vamos!

Passo 2

Aqui pra calcular o fluxo vamos reescrever a equação simplificando um pouco o produto escalar.

Φ = ∮ E   d A ∙ c o s ( θ )

Onde θ é o ângulo entre os vetores, e aqui faremos uma análise desse ângulo pra gente saber quais componentes precisamos calcular.

Vamos dar uma olhada nessa figura colocando o vetor campo elétrico e o vetor d A → .

Se o campo está apontando verticalmente para baixo, ele estará paralelo às faces verticais do cubo e perpendicular nas faces horizontais, superior e inferior. E por que isso é importante?

Isso é muito importante porque θ = 90 ° e c o s ⁡ ( 90 ° ) = 0 para as faces paralelas ao campo, portanto vamos considerar aqui apenas as faces superior e inferior

E aí na face superior θ = 180 ° e na face inferior θ = 0 ° fazendo com que a combinação nos dê uma parcela negativa em cima e positiva embaixo.

Aqui a gente pode dar uma fugidinha da integral já que a área é constante e o campo e o ângulo não dependem dessa área.

ϕ = ∫ E   d A ∙ c o s θ = E c o s θ ∫ d A

Φ = E A c o s ( θ )

Φ = A E i n f cos ⁡ 0 + E s u p cos ⁡ 180

Φ = A E i n f - E s u p

Beleza, chegamos numa expressão pro fluxo, o que fazer agora??

Passo 3

Vamos calcular essa área aí que é constante em cada face.

A = 100 × 100 = 10000 m 2

Substituindo E i n f = 100 C e E s u p = 60 C (dados do exercício):

Φ = A E i n f - E s u p

Φ = 100 - 60 × 10000 = 400 × 10 3   N m 2 / C

Passo 4

Por fim, colocamos na equação de Gauss:

q = ε 0 Φ

q = 8,85 × 10 - 12 400 × 10 3 = 3,54 × 10 - 6 C

E é só isso galerinha!!!

Resposta

q = 3,54 x 10 - 6 C

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