Lei de Gauss
Um plano dielétrico possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) . Coloca-se, então, a uma distância desse plano, uma placa condutora neutra , de espessura e transversalmente infinita, conforme mostra a figura abaixo.
Determine (com justificativas!):
o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido apenas pelo plano , para .
o campo no interior da placa condutora.
as densidades de carga induzidas e na placa condutora.
o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico na região .
Passo 1
o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido apenas pelo plano , para .
Vamos lá!
Por conta da simetria do problema, por se tratar de um plano infinito, o campo elétrico sempre terá direção perpendicular ao plano e o campo elétrico será constante, independente da coordenada .
Além disso, por conta da simetria do plano, podemos dizer que:
Até aí, beleza, mas como vamos calcular o campo elétrico?
Eu sei que você pensou o mesmo que eu... lei de Gauss.
Como gaussiana, vamos pensar em um cilindro de área transversal , cujo eixo de simetria é perpendicular ao plano infinito .
De acordo com a lei de Gauss, o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:
Passo 2
O fluxo através da gaussiana só pode ocorrer através da face lateral do cilindro ou através das tampas, concorda?
Logo:
Mas se tanto quanto o eixo de simetria da gaussiana são perpendiculares ao plano , logo:
Assim, o fluxo elétrico se dará apenas nas tampas.
Como já dissemos, o campo elétrico é constante, e como a gaussiana possui duas tampas de área , podemos dizer que:
Passo 3
Ok, agora vamos para o outro lado da lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:
A carga interna está relacionada à densidade de carga por:
Substituindo na expressão de , teremos:
Igualando as duas expressões do fluxo elétrico, teremos:
Finalmente:
Portanto, para , como a densidade de carga é positiva:
Passo 4
o campo no interior da placa condutora.
Aqui vai uma coisa pra coisa pra você guardar no coração: o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.
Passo 5
as densidades de carga induzidas e na placa condutora.
Como a placa condutora é eletricamente neutra, é necessário que a soma das cargas das superfícies 1 e 2 seja nula. Logo:
Isso acontece porque a área da placa é igual dos dois lados!
Além disso, no interior da placa condutora, temos as ações dos campos elétricos gerados pelas densidades de carga , e .
Entretanto, no item anterior, já vimos que, no interior do condutor, o campo elétrico é nulo.
Sendo assim:
No interior do condutor esses campos elétricos serão dados por:
O campo elétrico é negativo pois o espaço interior do condutor está à esquerda do plano.
Logo:
Sabendo que , teremos:
Logo:
Passo 6
o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico na região .
Novamente, a região terá a influência dos campos elétricos gerados pelas 3 densidades de carga. A diferença agora é que, como o espaço está à esquerda dos planos e , os campos elétricos na região serão dados por:
Sendo assim:
Sabendo que:
Teremos:
Resposta