Física 3 – UFPE – 2019.1 – PF – Questão 1
Considere um cilindro muito comprido, com raio . O cilindro possui uma densidade volumétrica de carga , onde é uma constante positiva e é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Uma fração do cilindro, de comprimento muito maior que e muito menor que o comprimento total do cilindro, é pintado com uma tinta não condutora que possui uma carga total e espessura desprezível.
a) Calcule a carga total (incluindo a carga da tinta) contida num cilindro de comprimento muito maior que e muito menor que o comprimento total do cilindro.
b) Determine o campo elétrico do cilindro de comprimento muito maior que e muito menor que o comprimento total do cilindro, nas regiões: i) ; e ii) .
c) Calcule a força experimentada por uma carga pontual negativa , localizada no exterior do cilindro de comprimento muito maior que e muito menor que o comprimento total do cilindro, i.e., a uma distância .
Passo 1
Fala galerinha, bora resolver esse problema sobre campo elétrico de um cilindro carregado.
O cilindro tem uma densidade de carga que varia como
No item (a) queremos a carga total para um comprimento . Para isso, temos que integrar a densidade de carga no volume:
Como vamos fazer a integral em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume pode ser escrito como
Com isso, só precisamos fazer a integral em :
Note que estamos integrando de até , varrendo todo o cilindro. Pode ser útil saber a carga até uma distância . Para isso, vamos calcular
Logo,
Para achar a carga total no cilindro, fazemos :
Porém o problema pede a carga total, considerando a carga no cilindro e a carga na camada de tinta, de modo que
Ou ainda,
Passo 2
No item (b) queremos o campo elétrico dentro e fora do cilindro, como função da distância até o eixo do cilindro. Para resolver esse problema, vamos usar a lei de Gauss:
Para isso, consideramos uma superfície cilíndrica fechada de raio e altura . O fluxo do campo elétrico por essa superfície é dado por
A área lateral do cilindro é :
Logo,
Daí, basta saber em cada caso qual é a carga dentro da superfície cilíndrica considerada.
Passo 3
Para , a carga será a carga acumulado no cilindro até um raio . Note que já fizemos essa conta no passo 1:
Assim,
Já para , a carga é toda a carga no cilindro e na tinta:
Logo,
Com isso, podemos escrever
Nos dois casos o campo é radial. Para , ele aponta para fora. Já para , tudo depende do fator . Se , o campo aponta para fora. Caso contrário, ele aponta para dentro.
Passo 4
Por fim, no item (c), queremos achar a força que uma carga pontual sente quando está a uma distância do eixo do cilindro. Bom, se ela está fora do cilindro, o campo sobre ela é
Daí, basta lembrar que a força sobre uma carga é . Como , temos que
Essa força aponta no sentido contrário do campo, pois a carga de prova é negativa.
E assim nós fechamos o problema 😉!