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Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

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Enunciado

Halliday - Vol. 3 – 9º edição – Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 70

(Capítulo 23 – Problemas Adicionais – Exercício 70) Uma esfera não condutora com 5,0 cm de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas ρ = 3,2 μ C / m 3 . Determine o módulo do campo elétrico (a) a 3,5 cm e (b) a 8,0 cm do centro da esfera.

Passo 1

Oii gente, vamos lá matar mais uma questão!

Aqui temos que uma esfera com raio R = 5,0 c m , possui uma densidade volumétrica ρ = 3,2 μ C / m 3

Precisamos calcular o campo dentro da esfera, para isso vamos utilizar a lei de Gauss nas duas situações dadas:

∫ E d A = q e n v ε 0

Passo 2

a) O campo elétrico é dado por

∫ E d A = q e n v ε 0

Para calcular q e n v podemos utilizar a densidade volumétrica:

q e n v = ∫ ρ d V

q e n v = ρ ∫ d V

q e n v = ρ 4 / 3 π r 3

Onde R é a distância do centro da esfera, portanto, substituindo na integral do campo elétrico:

∫ E d A = ρ 4 / 3 π r 3 ε 0

E ∫ d A = ρ 4 / 3 π r 3 ε 0

E 4 π r 2 = ρ 4 / 3 π r 3 ε 0

E = ρ r 3 ε 0

Susbtituindo os valores:

E = 3,2 × 10 - 6 3,5 × 10 - 2 3 8,85 × 10 - 12 = 4,2 × 10 3 N / C

Passo 3

b) Aqui vai ser o mesmo esquema:

∫ E d A = q e n v ε 0

E a carga envolvida é:

q e n v = ρ 4 / 3 π R 3

Portanto,

E 4 π r 2 = ρ 4 / 3 π R 3 ε 0

E = ρ R 3 3 ε 0 1 r 2

Substituindo os valores, onde nesse caso r = 8 × 10 - 2   m :

E = 3,2 × 10 - 6 5,0 × 10 - 2 3 3 8,85 × 10 - 12 1 8,0 × 10 - 2 2 = 2,4 × 10 3 N / C

Fechou!!

Resposta

(a) E = 4,2 k N / C

(b) E = 2,4 k N / C

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