Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região fora de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga :
Onde é a distância de um ponto até a origem e .
A esfera tem raio e é uma constante.
Passo 1
Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário . Portanto enunciamos a lei de Gauss:
Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumétrica:
Onde é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda esfera:
Passo 2
Beleza, a expressão para a densidade nós temos, pois é um dado. Agora esse fica meio solto. Recordemos do capítulo de densidade de cargas como fazer: como estamos tratando de coordenadas esféricas, supomos o volume arbitrário como sendo uma esfera de raio qualquer . Seu volume é:
Logo, derivando:
Substituindo e integrando:
Passo 3
Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo e o vetor normal são paralelos em toda , portanto:
Segue que:
Passo 4
Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda :
Portanto podemos tirá-lo da integral:
A integral de em toda é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio , temos:
Segue que:
Isolando:
Passo 5
Substituindo tudo:
O vetor é, portanto: