Lei de Gauss, Campo em Condutores
A figura abaixo mostra uma esfera não condutora de raio com uma carga uniformemente distribuída. Esta esfera é concêntrica a uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo . A casca esférica possui uma carga em excesso de .
Determine o campo elétrico :
No interior da esfera, ;
Entre a esfera e a casca esférica, ;
Dentro da casca;
Fora da casca, ;
Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?
Passo 1
No interior da esfera, ;
Antes de começar...
Esse problema é clássico de Lei de Gauss, que é dada por:
Dada a geometria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss:
Onde é a área da nossa gaussiana que, pelo geometria do problema, é uma esfera, logo:
O último detalhe aqui é que, novamente, pela geometria esférica do problema, o campo elétrico estará sempre na direção radial. Sendo assim:
Agora, para cada caso, o nosso único trabalho é determinar a carga interna .
Passo 2
A região engloba apenas parte da esfera isolante de carga .
O problema nos disse que a carga está uniformemente distribuída. Isso significa que podemos calcular com uma regra de 3 simples, usando os volumes:
Assim, o campo elétrico para esta região será:
Passo 3
Entre a esfera e a casca esférica, ;
Nessa região, somente a esfera está englobada pela gaussiana, logo, a carga interna será a carga da esfera:
Sendo assim:
Passo 4
Dentro da casca;
A casca é condutora, certo?!
Então aqui vai algo pra você guardar sempre contigo... no interior de um condutor, o campo elétrico é sempre nulo.
Portanto, na região :
Passo 5
Fora da casca, ;
Essa região engloba tanto a esfera quando a casca condutora. Assim, a carga resultante será a soma das cargas da esfera e da casca:
Portanto:
Passo 6
Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?
Lembra que quando calculamos o campo elétrico na região , dentro do condutor, eu disse que o campo elétrico ali é sempre nulo?
Uma gaussiana nessa região, englobaria a esfera de carga e a superfície interna da casca esférica condutora, de carga . Assim, para que o campo elétrico seja nulo, necessariamente:
Mas você concorda que a carga total da casca condutora deve ser igual a ?! (O enunciado que nos disse isso)
A carga total da casca esférica vai ser a soma das cargas nas superfícies interna e externa:
Resposta