Um cilindro carregado muito longo, de raio , possui uma densidade linear de carga . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro:
Fora do mesmo, para .
Dentro do cilindro, para .
Mostre também que suas respostas coincidem na borda do cilindro, correspondente a .
Passo 1
Para matar essa questão, vamos começar lembrando da linda Lady Gauss!
Para questões com cilindros carregados ou fios condutores, sempre utilizaremos uma gaussiana cilíndrica. Pois assim, o campo será sempre radial, e aponta na mesma direção que . Além do fato de que nas tampas o vetor campo é perpendicular ao vetor área e o produto escalar dá zero! Levando isso em conta, temos:
Onde é a área da superfície lateral da gaussiana cilíndrica, ou seja:
Onde é o raio da gaussiana e sua altura. Voltando à Lei de Gauss, temos:
Passo 2
Para , temos:
Precisamos agora determinar em função de , pois é isso que conhecemos! Como estamos na região fora do cilindro carregado, temos:
Substituindo na Lei de Gauss, temos:
Como a direção do vetor campo elétrico é radial, indicamos por esse vetor unitário !
Passo 3
Para , temos:
Considerando que a carga esta distribuída uniformemente pela área do cilindro, temos agora que a carga interna varia para , que pode ser encontrada da seguinte forma:
Substituindo na Lei de Gauss, temos:
Novamente na direção radial!
Passo 4
Vamos agora testar na borda do cilindro, as duas equações achadas para o campo elétrico devem dar a mesma resposta em , veremos:
Para , temos:
Para , temos:
Portanto: