(Capítulo 23.4 – Exercício 8) Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,5 m X 3,0 m X 2,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superfície gaussiana que envolve o ar do banheiro. Determine (a) a densidade volumétrica de cargas ρ e (b) o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar.

Passo 1

E aí galerinha, tudo certo?

Temos em um banheiro um campo elétrico E   =   600   N / C e esse campo está sempre perpendicular as paredes, teto e piso do banheiro. Também sabemos que as dimensões do banheiro são 2,5   m   X   3,0   m   X   2,0   m . Precisamos primeiro achar o fluxo elétrico. Como o campo elétrico é constante em todas as paredes, podemos usar a fórmula do fluxo elétrico:

Φ = E → ⋅ A → = E . A . cos ⁡ θ = E . A . cos ⁡ 0 = E . A

Onde A será a soma da área do teto, do piso e das paredes

Para conseguirmos descobrir a densidade volumétrica de carga, precisamos descobrir a carga, que pode ser facilmente achada pela lei de Gauss:

Φ = q ε 0

q = Φ ε 0

Onde ε 0 é a constante dielétrica que vale 8,85 × 10 - 12   F / m

Então, por fim, podemos encontrar a densidade volumétrica de cargas:

ρ = q V

Onde V é o volume do banheiro

E o número de cargas elementares será dado por

n e = q e V

Então boraaa

Passo 2

Podemos calcular a área total das superfícies que fecham o banheiro:

A = A t e t o + A p i s o + A P a r e d e s

A = 2,5 × 3,0 + 2,5 × 3,0 + 2,0 × 3,0 × 2 + 2,0 × 2,5 × 2

A = 37 m 2

Colocando isso na formula do fluxo elétrico:

Φ = E . A = 600 × 37 = 22 × 10 3 N m 2 / C

Passo 3

Agora podemos calcular a carga:

q = Φ ε 0

q = 22 × 10 3 8,85 × 10 - 12 = 2 × 10 - 7 C

É importante, notar que o sinal da carga é negativo pelo enunciado

a) Agora, podemos calcular a densidade volumétrica dividindo a carga, pelo volume do banheiro:

ρ = q V = - 2 × 10 - 7 2,5 × 3,0 × 2,0 = - 1,3 × 10 - 8 C / m 3

Passo 4

b) Para encontrar o número de carga elementais em excesso por metro cubico, ne, basta dividir a carga total, pela carga do elétron e pelo volume do banheiro:

n e = q e V = 2 × 10 - 7 1,6 × 10 - 19 2,5 × 3,0 × 2,0 = 8,2 × 10 10 c a r g a s / m 3

Arrasamos!

Resposta

(a) ρ = - 1,3 × 10 - 8 C / m 3

(b) n e = 8,2 × 10 10 c a r g a s / m 3

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