Considere uma esfera isolante de raio carregada com a densidade volumar de carga , sendo uma constante e a distância de um ponto genérico ao centro da esfera. Considere também uma barra de comprimento e densidade linear de carga constante . A barra está orientada para o centro da esfera e o seu ponto médio está a uma distância do centro da esfera, sendo , como mostrada na figura abaixo.

1. Determine a carga da esfera.
2. Utilizando a lei de Gauss, calcule o campo eletrostático (módulo, direção e sentido) produzido apenas pela esfera, num ponto , situado a uma distância do centro da esfera, tal que .
3. Calcule a força eletrostática (módulo, direção e sentido) exercida pela esfera sobre a haste.
4. Obtenha uma expressão aproximada para a força exercida pela esfera sobre a haste para e discuta o resultado encontrado.

b) Como o problema tem simetria esférica, podemos utilizar a lei de Gauss para determinar o valor campo elétrico em uma posição . Considerando uma esfera de raio envolvendo toda a carga , em cada ponto sobre a superfície dessa esfera de raio o campo elétrico é radial, ou seja, seu vetor  está na direção do raio da esfera.

Se consideramos agora o elemento de área   da superfície gaussiana paralelo a  , a integral na lei de Gauss é simplificada para

Uma outra característica importante dessa simetria esférica é que o campo elétrico sobre cada ponto da superfície gaussiana esférica tem o mesmo valor. Por isso, na expressão acima, podemos retirar da integral, o que nos conduzirá à

Com isso, o vetor campo elétrico é dado por

Note que esse resultado nos diz que o campo elétrico produzido pela carga distribuída pelo volume do isolante é idêntico àquele campo produzido caso a carga estivesse toda concentrada no ponto central da esfera. Esse resultado nos auxilia no cálculo da força elétrica do próximo item.

c) O resultado do item anterior nos mostrou que podemos considerar a carga total da esfera como se estivesse toda concentrada em seu centro, como representado na figura abaixo. Por isso, o campo elétrico na posição pode ser obtido da expressão para o campo que obtivemos no item b) e está representado na figura.

Como o campo produzido pela carga da esfera isolante é radial, a força infinitesimal que o campo exerce sobre uma carga infinitesimal do fio é dada por

Para sabermos o valor da força total sobre a barra, precisamos integrar de a ,

Simplificando essa expressão, temos

1. Note que podemos reescrever a expressão acima como

Agora, se , então temos que

e a força é, após essa simplificação, fica

Como é a carga total da haste de comprimento ,

Repara, galera, que para resolvermos todos os itens não precisamos, em momento algum, dizer se as cargas da esfera e da barra são positivas ou negativas. Da expressão acima para a força, vemos que a sua direção estão bem definida:  . Porém, o sentido da força vai depender dos sinais das cargas e .

Concluindo, se , podemos considerar a força entre a esfera e a barra como se fosse uma força entre duas cargas e puntiformes separadas por uma distância , com a carga da esfera toda concentrada na origem e a da barra toda concentrada em seu ponto médio.