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Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

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Enunciado

Halliday - Vol. 3 – 9º edição – Capítulo 23 – Seção 9 – Exercício 55

(Capítulo 23.9 – Exercício 55) Uma distribuição de cargas não uniforme, mas com simetria esférica, produz um campo elétrico de módulo E   =   K r 4 , onde K é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual é a distribuição volumétrica de cargas ρ ?

Passo 1

E aíí galera, tudo beleza? Vamos lá pra mais uma!!

Nesse exercício, queremos encontrar a distribuição volumétrica ρ

Para isso, vamos usar a lei de Gauss para encontrarmos o campo elétrico a uma distância r do centro da distribuição esférica de cargas:

E r = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Onde a carga q i n t é dada por

q i n t = ∫ 0 r ρ r 4 π r ² d r

Então bora!

Passo 2

Temos:

E r = 1 4 π ϵ 0 r 2 ∫ 0 r ρ r 4 π r ² d r

E queremos encontrar o ρ

Isolando a integral:

E r × 4 π ϵ 0 r 2 = ∫ 0 r ρ r 4 π r 2 d r

Cortando os termos comuns:

E r × ϵ 0 r 2 = ∫ 0 r ρ r r 2 d r

Para encontrar ρ r , podemos usar o teorema fundamental do cálculo: vamos derivar dos dois lados em relação a r , e aí a derivada da integral de 0 até r vai ser simplesmente o integrando aplicado em r , beleza? Lembrando que:

d d x ∫ 0 x f t d t = f ( x )

Passo 3

Então:

d d r E r × ϵ 0 r 2 = d d r ∫ 0 r ρ r r 2 d r

Como E = K r 4 (dado do exercício):

d d r K . r 4 × ϵ 0 r 2 = ρ r r 2

d d r K . ϵ 0 r 6 = ρ r r 2

Derivando o lado esquerdo:

6 K ϵ 0 r 5 = ρ r r 2

Logo:

ρ r = 6 K ϵ 0 r 5 r 2

Então:

ρ r = 6 K ϵ 0 r 3  

Resposta

6 K ϵ 0 r 3  

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