Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região dentro de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga :
A esfera tem raio .
Passo 1
Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário . Portanto enunciamos a lei de Gauss:
Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumar:
Onde é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda a Gaussiana somente (pois é dentro dela que queremos achar a carga):
*Só um lembrete bobo. Repare que eu pus uma apóstrofe no dentro da integral. Sempre que a variável do limite de integração for a mesma do integrando, mude uma das duas. Agora não é hora de perguntar o porquê, só decore isso (não que vá acarretar numa perda de muitos pontos, mas vale à pena comentar).
Passo 2
Sabemos que, como já vimos anteriormente:
Substituindo e integrando (lembrando de mudar a variável na integral):
Passo 3
Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo e o vetor normal são paralelos em toda , portanto:
Segue que:
Passo 4
Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda :
Portanto podemos tirá-lo da integral:
A integral de em toda é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio , temos:
Segue que:
Isolando:
Substituindo e multiplicando pelo vetor unitário radial: