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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger - P2 2022.1, Questão 4

4) Calcule a integral

∫ c y 2 x - x 2 d s

Onde C : r → t = 1 - cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t , t ≤ π 4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ c y 2 x - x 2 d s

Onde C é definido pelo vetor r → t = 1 - cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t com t definido em t ≤ π 4 .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para calcular uma integral de linha do tipo

∫ C f x , y , z d s

Aplicamos a igualdade

∫ C f x , y , z d s = ∫ b a f r t · r ' → t d t

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada do vetor r → t .

Se r → t = 1 - cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t , então

r ' → t = d 1 - cos ⁡ t d t , d 2 cos ⁡ t d t , d sin ⁡ t d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

r ' → t = - - sin ⁡ t , 2 - sin ⁡ t , cos ⁡ t

r ' → t = sin ⁡ t , - 2 sin ⁡ t , cos ⁡ t

Calculando o modulo desse vetor...

r ' → t = sin ⁡ t 2 + - 2 sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2

r ' → t = sin 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

r ' → t = 5 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Agora vamos substituir r → t em f x , y , z

f x , y , z = y 2 x - x 2 → f r → t = 2 cos ⁡ t 2 1 - cos ⁡ t - 1 - cos ⁡ t 2

f r → t = 2 cos ⁡ t 2 - 2 cos ⁡ t - 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

f r → t = 2 cos ⁡ t 2 - 2 cos ⁡ t - 1 + 2 cos ⁡ t - cos 2 ⁡ t

Simplificando...

f r → t = 2 cos ⁡ t 1 - cos 2 ⁡ t

Pela relação sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t podemos obter que sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t .

Substituindo

f r → t = 2 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t

f r → t = 2 cos ⁡ t sin ⁡ t

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Substituindo essas informações na integral, chegamos em

∫ C f x , y , z d s = ∫ b a f r t · r ' → t d t

∫ C f x , y , z d s = ∫ b a 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 5 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

t é definido pela inequação t ≤ π 4 , ou seja, - π 4 ≤ t ≤ π 4 .

∫ C f x , y , z d s = ∫ - π 4 π 4 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 5 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Se aplicarmos o método de substituição fazendo 5 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = u , então

d u d t = d 5 sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t = 8 sin ⁡ t cos ⁡ t

d t = 1 8 sin ⁡ t cos ⁡ t d u

Para u , em t = π 4 temos o maior valor possível para u

u 1 = 5 sin 2 ⁡ - π 4 + cos 2 ⁡ - π 4 = 3

Para u em t = 0 temos o menor valor possível para u ...

u 2 = 5 sin 2 ⁡ 0 + cos 2 ⁡ 0 = 1

Fazendo essa substituição na integral...

∫ C f x , y , z d s = ∫ 1 3 2 cos ⁡ t sin ⁡ t u 1 8 sin ⁡ t cos ⁡ t d u

∫ C f x , y , z d s = ∫ 1 3 1 4 u d u

∫ C f x , y , z d s = 1 4 ∫ 1 3 u d u

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ C f x , y , z d s = 1 4 u 1 2 + 1 1 2 + 1 1 3

∫ C f x , y , z d s = 1 4 u 3 2 3 2 1 3 = 1 6 u 3 2 1 3

∫ C f x , y , z d s = 1 6 3 3 2 - 1 3 2

∫ C f x , y , z d s = 1 6 3 3 - 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ C f x , y , z d s = 1 6 3 3 - 1

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