UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Prof° M. C. Fenille - Segunda Lista de Exercícios, Questão 14b
Considere a curva parametrizada por , com .
Determine o ângulo de interseção, isto é, o ângulo entre a curva e o plano- no ponto .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
Temos aqui a parametrização de uma curva
queremos encontrar o ângulo de interseção, que é o ângulo entre a curva e o plano- no ponto . Este ponto foi obtido na alternativa anterior como
O ângulo será o ângulo da reta tangente à curva no ponto , definida como
s
Vamos calcular isso primeiro então!
Passo 2
Temos que
e, calculando a derivada em todos os termos da parametrização, temos que
em que usei a regra do tombo e simplifiquei o segundo termo. O ponto foi obtido na interseção com o plano , ou quando , portanto, em , sendo assim, no ponto , a nossa derivada é
e, a parametrização da reta tangente é
Vamos agora encontrar o ângulo dessa reta com o plano-!
Passo 3
O ângulo entre a reta e um plano pode ser obtido calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e um vetor do plano. O vetor diretor da reta é dado por
um vetor pertencente ao plano- pode ser qualquer vetor com a coordenada , escolhendo uma que seja simples, temos que
E, portanto, podemos obter o ângulo como
do lado esquerdo temos um produto escalar, e do lado direito as normas dos vetores! Vamos abrir essas contas!
Passo 4
Usando a definição de produto escalar, temos que
e, calculando as normas de ambos os vetores, temos que
e, também temos que
Portanto, temos que o ângulo é tal que
ou simplesmente
Aplicando a inversa em ambos os lados, temos que
A questão pedia isso! Bora para a próxima! Tchau Tchau!