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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x 2 + y 2 + x + y = 0

Passo 1

Primeiramente aqui, preciso que você tenha já em mente que essa curva nos representa uma circunferência, certo? Então vamos vela-la para a sua forma geral de circunferência: : x 2 + y 2 = r ?

Completando quadrado...

x 2 + y 2 + x + y = 0   →         x + 1 2 2 - 1 4 + y + 1 2 2 - 1 4 = 0     →

  x + 1 2 2 + y + 1 2 2 = 1 2 ∙ 1

x + 1 2 2 + y + 1 2 2 = 1 2

Passo 2

A parametrização de uma circunferência centrada na origem sempre será:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

como a nossa curva está fora da origem e sim centrada no ponto - 1 2 ,   - 1 2 , a parametrização fica

x = - 1 2 + r cos ⁡ θ

y = - 1 2 + r sin ⁡ θ

r = 1 2

Assim, uma parametrização é:

x = - 1 2 + 1 2 cos ⁡ θ

y = - 1 2 + 1 2 sin ⁡ θ

r → t = - 1 2 + 1 2 cos ⁡ θ ,   - 1 2 + 1 2 sin ⁡ θ

θ dá uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = - 1 2 + 1 2 cos ⁡ θ ,   - 1 2 + 1 2 sin ⁡ θ →             r ' t = - 1 2 sin ⁡ θ ,   1 2 cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = - 1 2 + 1 2 cos ⁡ θ ,   - 1 2 + 1 2 sin ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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