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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P2 - 2008.2, Questão 5b

Sejam os vetores em R 4 : A = 1 , - 1,3 , 4 e B = 1,2 , - 1 , 4 e consideremos a reta X = A + t B t ∈ R .

  1. Determinar os dois pontos da reta que têm distância d = 3 da origem.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Para determinar os pontos da reta que têm uma distância de d   =   3 da origem, precisamos encontrar os valores de t que satisfazem essa condição.

Nesse sentido, A distância entre um ponto X   =   ( x ₁ ,   x ₂ ,   x ₃ ,   x ₄ ) e a origem ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) é dada pela fórmula:

d   =   X = A + t B

Elevando ao quadrado os dois lados da equação, encontramos:

d = A + t B 2

E aí? Bora lá aplicar essa fórmula??!!

😉

Passo 2

Assim, substituindo os vetores A e B , temos:

d = 1 , - 1,3 , 4 + t 1,2 , - 1,4 2 ∴

Expandindo a norma ao quadrado:

d = 1 + t 2 + - 1 + 2 t 2 + 3 - t 2 + 4 + 4 t 2

Queremos que os dois pontos da reta que têm distância d = 3 da origem, ou seja:

3 = 1 + t 2 + - 1 + 2 t 2 + 3 - t 2 + 4 + 4 t 2 ∴

3 2 = 1 + t 2 + - 1 + 2 t 2 + 3 - t 2 + 4 + 4 t 2 ∴

9 = 1 + 2 t + t 2 + 4 t 2 - 4 t + 1 + 9 - 6 t + t 2 + 16 + 16 t + 16 t 2 ∴

9 = 22 t 2 + 8 t + 37 ∴

22 t 2 + 8 t + 28 = 0

t 1 =   - 6 + 3 7 i 11

t 2 =   - 6 - 3 7 i 11

Dessa forma, como não existem soluções reais para essa equação, então não há pontos na reta que estejam a uma distância de d   =   3 da origem.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Não há pontos na reta que estejam a uma distância de d   =   3 da origem

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