UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille – Segunda Lista de Exercícios, Questão 13
Em que ponto as curvas e se interseptam? Determine o ângulo entre elas no ponto de interseção.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu duas curvas parametrizadas, e , e quer que a gente determine o ponto onde elas se encontram e o ângulo entre elas nesse ponto.
Para encontrar o ponto de intersecção das curvas dadas, vamos igualar as duas equações vetoriais, fazendo:
A partir daí teremos três equações, relativas as componentes dos vetores. Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de e que satisfazem essas equações simultaneamente. Em seguida, vamos obter o ângulo entre as curvas usando a equação:
usando o ponto de interseção encontrado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar determinando o ponto de intersecção das curvas, igualando as duas:
Da igualdade acima obtemos 3 equações:
Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de e que satisfazem as equações simultaneamente. As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.
Da primeira equação temos . Substituindo na terceira equação teremos:
Sendo , temos .
Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por
Passo 3
Agora, para descobrir o ângulo de intersecção das curvas, vamos primeiro calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas. Assim, temos:
No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por
Passo 4
Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:
Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:
Sendo o ângulo entre os vetores.
Isolando o termo temos
Agora, substituindo os valores que encontramos nessa equação, obtemos:
O ângulo é dado, então, por:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉