1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x 2 3 + y 2 3 = 1

Passo 1

Bem, infelizmente aqui, não conseguimos desenhar essa curva facilmente, por isso vamos pular essa parte, ok?

Em relação a pararametrização, note que se fizermos

x = cos 3 ⁡ t

e

y = sin 3 ⁡ t

x 2 3 + y 2 3 = 1       →             cos 3 ⁡ t 2 3 + cos 3 ⁡ t 2 3 = 1     →

multiplicando esses expoentes para remover do parênteses...

cos 3 ⁡ t 2 3 + cos 3 ⁡ t 2 3 = 1     →         cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1

o que satisfez perfeitamente ;D

então

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ →             r ' t = - 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ,   3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

r → t = cos 3 ⁡ θ ,   sin 3 ⁡ θ ,     0 ≤ t ≤ 2 π

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