UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille – Segunda Lista de Exercícios, Questão 9
Verifique que a curva parametrizada por , , é plana.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma curva parametrizada e quer que a gente verifique se essa curva é plana. Mas o que é uma curva plana?
Uma curva plana é um conjunto de pares ordenados em que e são funções contínuas em um intervalo . Ou, de maneira mais geral, uma plana é aquela que se situa em um só plano euclidiano e que pode ser aberta (reta, parábola, hipérbole) ou fechada (círculo, elipse), entre outras.
Tá, então o que a gente pode fazer pra verificar se essa curva representa um plano? A gente pode tentar escrever ela como a equação do plano , onde e são números reais, usando as componentes do vetor .
Vamos lá!
Passo 2
Galera, decompondo as componentes do vetor em coordenadas cartesianas, temos:
Então, uma maneira de escrever essas componentes na forma da equação do plano seria:
Tirando o M.M.C do lado direito da equação:
Logo,
Ou
Assim, como os pontos estão no plano para todos o valores de , podemos dizer que a curva parametrizada é plana.
Passo 3
Uma maneira mais rigorosa, matematicamente, de resolver essa questão, seria calculando a torsão da curva. A torsão é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional que mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura. Ela é calculada por meio da equação:
Se , significa que a curva é plana. Para o nosso caso, calculando , teríamos:
Onde , e são as derivadas do vetor . Calculando o determinante, temos:
Dessa forma, não importa muito valor do produto vetorial no denominador, , porque teríamos:
De qualquer forma, se você quiser testar, o valor do produto escalar é . Como a torsão , a curva parametrizada é plana. Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉