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Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de Curvas Parametrizadas, Questão 4a

Dê uma parametrização para a curva:

O arco de menor comprimento do círculo

x 2   +   y 2   =   4

ligando os pontos

  P   =   ( √ 3 ,   1 ) e   Q   =   ( − √ 2 , √ 2 ) ;

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para o arco de menor comprimento do círculo

x 2   +   y 2   =   4

ligando os pontos

  P   =   ( √ 3 ,   1 ) e   Q   =   ( − √ 2 , √ 2 ) ;

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para o arco de menor comprimento do círculo

x 2   +   y 2   =   4

ligando os pontos

  P   =   ( √ 3 ,   1 ) e   Q   =   ( − √ 2 , √ 2 ) ;

Bem, temos a circunferência x 2   +   y 2   =   4 . A parametrização do círculo de raio r já é manjada. Ela é dada por

σ ( t ) = r ( c o s ( t ) , s i n ( t ) )

Mas queremos apenas o arco de menor comprimento ligando os pontos

  P   =   ( √ 3 ,   1 ) e   Q   =   ( − √ 2 , √ 2 ) ;

Bem, Olhando o ponto Q , podemos perceber que ele está relacionado ao ângulo de 3 π / 4 (135 graus), e o ponto P está relacionado ao ângulo de π / 6 (30 graus), pois a tangente é de 3 / 3 .

Logo a nossa curva é dada por

σ ( t ) = r ( c o s ( t ) , s i n ( t ) ) ,   π / 6 ≤ t ≤ 3 π / 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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