UFSC, Araranguá, Cálculo B, Listas de Cálculo B - Lista 102, Questão 12
Encontre todos os pontos em que a curva tem tangente horizontal, vertical ou não existente
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos a curva definida por
e queremos encontrar os pontos em que a reta tangente ao ponto é horizontal, vertical, ou inexistente! Acima temos uma curva polar que pode ser representada nas coordenadas , pela parametrização
e
As retas horizontais são obtidas quando inclinação é nula ou seja
e a inclinação é vertical quando não é bem definida! Mas quem é essa derivada? A condição acima pode ser reescrita como
Ou seja, temos retas horizontais quando
e, retas verticais quando
Vamos calcular as derivadas e encontrar os nossos pontos! Vem comigo!
Passo 2
Temos que
aplicando a regra do produto, temos que
em que usei que
Mas quem é ?? Podemos obter este resultado derivando implicitamente a nossa definição! Vamos lá!
Passo 3
Temos que a nossa função é definida implicitamente, ou seja, precisaremos usar a regra da cadeia, derivando de ambos os lados, temos que
pela regra da cadeia, o lado esquerdo se torna
e, o lado direito pode ser identificado como
Ou seja, temos que
ou seja, a inclinação da reta tangente é
Agora podemos voltar para a nossa derivada original, e tentar identificar as retas tangentes horizontais!
Passo 4
Usando a derivada da coordenada na derivada de , temos que
usando a definição de , temos que
que é o mesmo que
aqui em cima usei a relação trigonométrica ! Portanto, temos que
Isso ocorre quand
o
ou
em que o é devido a paridade da função cosseno! Os valores de são então dados por
a expressão acima falha para e , assim como outros valores, os dois menores valores que tem validade são e , onde obtemos que
e, portanto, os pontos são todos da forma
e
Vamos agora achar as nossas verticais!
Passo 5
Para as verticais precisamos calcular
em que usei
Substituindo que calculamos anteriormente, temos que
em que usei novamente que . Usando a fórmula para , temos que
a condição para que tenhamos uma tangente vertical é então dada por
ou seja, quando temos
ou simplesmente
de forma que os nossos pontos são dados pelos valores de , tais que
note que para todo que não é múltiplo de , temos que o cosseno resultará em , portanto, estariamos no plano imaginário, para nos manter no plano real precisamos de , valores múltiplos de 3. Que resultam em , portanto, os pontos são dados por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Horizontais em e e verticais em