1.5. Seja γ(t) = (e^t + 1, e^(-t)) , para t ∈ R .

b. A imagem de gamma está contida numa curva de nível da função f: R^2 → R dada por f(x, y) = x^2 * y^2 - 2y - y^2 + 4 ? Em caso afirmativo, em qual nível?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos encontrar o nível k em que a curva γ descreve uma curva de nível da função f x , y = x 2 y 2 - 2 y - y 2 + 4 .

Tem ideia do que fazer? 👀

Para obter a curva de nível de uma função, temos que igualar essa função a uma outra variável k .

f x , y = k

Agora para obter o nível em que a curva γ t descreve uma curva de nível de f x , y , temos que substituir γ t em f x , y = k transformando x e y nas componentes de γ .

Ou seja, se γ t = f t , g t , fazemos x = f t e y = g t e substituímos na equação f x , y = k .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Igualando f x , y a k , temos

f x , y = x 2 y 2 - 2 y - y 2 + 4 = k

Como γ t = e t + 1 , e - t , então x = e t + 1 e y = e - t ...

Substituindo x e y na equação da curva de nível.

e t + 1 2 e - t 2 - 2 e - t - e - t 2 + 4 = k

e 2 t + 2 e t + 1 e - 2 t - 2 e - t - e - 2 t + 4 = k

1 + 2 e - t + e - 2 t - 2 e - t - e - 2 t + 4 = k

Simplificando...

1 + 4 = k

k = 5

Portanto o nível que contém a curva γ t é o nível k = 5

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

k = 5

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