Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

Ver Teoria
Exercício 2912345678910111213141516171819202122232425262728303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 1.5b

1.5. Seja γ t = e t + 1 , e - t , para t ∈ R .

b. A imagem de γ está contida numa curva de nível da função f : R 2 → R dada por f x , y = x 2 y 2 - 2 y - y 2 + 4 ? Em caso afirmativo, em qual nível?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos encontrar o nível k em que a curva γ descreve uma curva de nível da função f x , y = x 2 y 2 - 2 y - y 2 + 4 .

Tem ideia do que fazer? 👀

Para obter a curva de nível de uma função, temos que igualar essa função a uma outra variável k .

f x , y = k

Agora para obter o nível em que a curva γ t descreve uma curva de nível de f x , y , temos que substituir γ t em f x , y = k transformando x e y nas componentes de γ .

Ou seja, se γ t = f t , g t , fazemos x = f t e y = g t e substituímos na equação f x , y = k .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Igualando f x , y a k , temos

f x , y = x 2 y 2 - 2 y - y 2 + 4 = k

Como γ t = e t + 1 , e - t , então x = e t + 1 e y = e - t ...

Substituindo x e y na equação da curva de nível.

e t + 1 2 e - t 2 - 2 e - t - e - t 2 + 4 = k

e 2 t + 2 e t + 1 e - 2 t - 2 e - t - e - 2 t + 4 = k

1 + 2 e - t + e - 2 t - 2 e - t - e - 2 t + 4 = k

Simplificando...

1 + 4 = k

k = 5

Portanto o nível que contém a curva γ t é o nível k = 5

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

k = 5

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π