UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Prof° M. C. Fenille - Segunda Lista de Exercícios, Questão 15b
Considere a espiral , e a circunferência de equação .
Determine o ângulo de interseção entre a trajetória de e a circunferência .
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos a seguinte espiral
e, a circunferência
.
Temos que determinar o ângulo de interseção entre a trajetória e a circunferência . O ângulo poderá ser obtido se obtermos uma parametrização da reta tangente a trajetória no ponto da interseção, temos que a equação da reta é da forma
Na última alternativa obtemos a interseção no instante
e, no ponto
Vamos calcular a reta tangente agora! Vem comigo!
Passo 2
Temos que
e, calculando a derivada em todos os termos da parametrização, temos que
em que usei a regra do produto e as derivadas conhecidas do seno e cosseno. No instante da interseção, temos que
e, a parametrização da reta tangente é
Vamos agora encontrar o ângulo dessa reta com o plano-, pois é o plano da circunferência .
Passo 3
O ângulo entre a reta e um plano pode ser obtido calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e um vetor do plano. O vetor diretor da reta é dado por
um vetor pertencente ao plano- pode ser qualquer vetor com a coordenada , escolhendo uma que seja simples, temos que
E, portanto, podemos obter o ângulo como
do lado esquerdo temos um produto escalar, e do lado direito as normas dos vetores! Vamos abrir essas contas!
Passo 4
Usando a definição de produto escalar, temos que
e, calculando as normas de ambos os vetores, temos que
e, também temos que
Portanto, temos que o ângulo é tal que
ou simplesmente
Aplicando a inversa em ambos os lados, temos que
A questão pedia isso! Bora para a próxima! Tchau Tchau!