1. Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
  1. C : x^2 + (4y)^2 = 4, x ≥ 0

Passo 1

Pow! É sempre muito recomendado que se desenhe a curva antes de parametriza-la.

Bem, essa curva nos representa a parte do lado de uma elipse centrada na origem (a parte de lado, pois x ≥ 0 )

Ahhh! Não se preocupe em desenhar essa elipse com perfeição. Isso não importa muito aqui ;)

Passo 2

Pow, elipses assim, sempre podemos passa-la para sua fórmula geral: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

onde a parametrização sempre será:

x = a cos ⁡ θ

y = b sin ⁡ θ

No nosso caso...

x 2 + 4 y 2 = 4     →         x 2 4 + y 2 = 1       →

x 2 2 2 + y 2 1 2 = 1

Assim, uma parametrização é:

x = 2 cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

r → t = 2 cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ

θ dá uma meia volta partindo de baixo ( 90 ° abaixo) então...

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora basta verificar se ela é diferenciável calculando sua derivada:

r → t = 2 cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ →             r ' t = - 2 sin ⁡ θ ,   cos ⁡ θ

Repare que essa derivada aí funciona para qualquer ponto. Então, sim, ela é diferenciável !

Resposta

c )     r → t = 2 cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ   →       - π 2 ≤ θ ≤ π 2

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